Контрольные вопросы

1. Постановка двухточечной краевой задачи.

2. Дискретная двухточечная краевая задача. Аппроксимация и сходимость разностной схемы.

3. Метод конечных разностей для случая переменного коэффициента теплопроводности.

4. Аппроксимация граничных условий со вторым порядком точности.

5. Понятие явной и неявной разностной схемы для уравнения теплопроводности.

Лабораторная работа 6 решение задач теплопроводности

Цель: изучить методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, научиться разрабатывать программные модули по предложенным алгоритмам.

Постановка задачи и метод её решения

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности, а именно: найдем функцию удовлетворяющую уравнению

, (6.1)

начальному условию

(6.2)

и краевым условиям:

, . (6.3)

Задачу будем решать методом сеток (конечных разностей), в основе которого лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями. Ограничимся случаем двух независимых переменных. Пусть в плоскости хОу имеется некоторая область с границей(рис. 6.1).

Рисунок 6.1 — Прямоугольная сетка в области с границей

Построим на плоскости два семейства параллельных прямых:

, ,i = 0, 1, 2, …, k = 0, 1, 2, … .

Точки пересечения этих прямых назовем узлами. Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси Ох или Оу на расстояние, равное шагу сетки h или l соответственно. Выделим узлы, принадлежащие области G + Г, а также некоторые узлы, не принадлежащие этой области, но расположенные на расстоянии, меньшем чем шаг, от границы Г. Те узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними (узел А, рис. 6.1). Оставшиеся из выделенных узлов называются граничными (узлы В, С). Обозначим

Значения искомой функции и = и(х, у) в узлах сетки будем обозначать через В каждом внутреннем узлезаменим частные производные разностными отношениями:

;

.

В граничных точках воспользуемся формулами вида:

, .

Аналогично заменяются частные производные второго порядка

.

Сделаем переход от уравнения вида к разностному уравнению

–= 0.

После замены и преобразований получаем уравнение для вычисления внутренних узлов:

. (6.4)

При разностное уравнение (6.4) устойчиво. Наиболее простой вид уравнение имеет приВ этом случае уравнение (6.2) запишется в виде:

(6.5)

Пусть (x,t) — точное решение задачи (6.1)—(6.3), — отклонение точного значения от вычисленного по методу сеток. Тогда погрешность вычислений может быть найдена по формуле

, (6.6)

где =,

где

Варианты индивидуальных заданий

Задача 1. Используя метод сеток, найдите приближенное решение уравнений (6.1)—(6.3), удовлетворяющее условиям , для,иh = 0.1, l = 0.005.

Решение должно быть оформлено в виде таблицы 6.1 подсчитанной вручную. Исходные данные заданы в таблице 6.2. Оцените погрешность вычислений по формуле (6.6).

Комментарий. Значения находим, подставляя значениех_о в . Например,приравна 0. Значенияиопределяются краевыми условиями (в нашем случае нулевые). Далее значение, например,находим, используя формулу (6.5), т. е..

Таблица 6.1 — Решение задачи 1

j
0	0
1	0,005
2	0,010
3	0,015
4	0,020
5	0,025
6	0,03

Таблица 6.2 — Индивидуальные задания к задаче 1

№
1	0,1	0,6
2	0	0,5
3	0,2	0,7
4	0	0,5
5	0,1	0,6
6	0,2	0,7
7	0	0,5
8	0,2	0,7
9	0	0,5
10	0,1	0,6
11	0	0,5
12	0	0,6