Теорія ймовірностей Заоч. 2010

параметром 5. Знайти М( Х ) і D( Х ).

а) М( Х )=5 D( Х )=25; б) М( Х )=0,2 D( Х )=0,2;

в) М( Х )=0,2 D( Х )=0,04; г) М( Х )=0,5 D( Х )=0,5.

3.Який з наступних законів розподілу не відноситься до розподілу дискретних випадкових величин?

а) рівномірний; б) Пуассонівський; в) геометричний; г) біноміальний.

4.Для нормально розподіленої випадкової величини Х знайти

Р(12 <Х < 14), якщо М(Х)=10, D(Х)=4. а) 0,4772; б) 0,3413; в) 0,9185 г) 0,1359.

Тема 7. Функції випадкового аргументу

Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

1.М(Y) дорівнює: а) 1,93; б) -1,4; в) 0 г) 17,2.;

2.М(Y2) дорівнює: а) 7,4; б) 2,3; в) 2,8; г) 10;

3.D(Y) дорівнює: а) 0; б) 2,8; в) -2,3; г) 0,19;

4.σ (Y) дорівнює: а) 1,67; б) 12,3; в) 5,6; г) 10,4;

5.записати закон розподілу для випадкової величини Y.

Тема 8, 9. Граничні теореми теорії ймовірностей

120

1.До яких явищ застосовується закон великих чисел? а) до явищ з однією випадковою подією; б) до явищ з великою кількістю випадкових подій;

в) до явищ з малою кількістю випадкових подій; г) до явищ з двома несумісними подіями.

2.Випадкова величина Х має закон розподілу N(-1;2). Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність |x-a|< ε, якщо ε=4σ.

а) 0,64; б) 0,987; в) 0,9375 г) 0,945.

3.Яке повинна мати значення величина ε у нерівності Чебишова, щоб P( X − a < ε ) ≈ 0,99 , коли відомо, що D( Х )=5.

а) 400; б) 10; в) 5; г) 74.

Тема 10, 11. Первинне опрацювання статистичних даних. Статистичне та інтервальне оцінювання параметрів розподілу

1. Варіанту, що має найбільшу частоту появи називають:

а) вибірковою середньою; б) дисперсією; в) модою; г) медіаною.

2. Знайти емпіричну функцію розподілу за статистичним розподілом вибірки:

3. Для заданої вибірки із генеральної сукупності

2,2,8,5,4,2,5,4,2,8,8,2,4,8,2,2,8,2,2,2 обчислити xB , DB . а) xB =4,1 DB =2,46; б) xB =4,1 DB =2,47;

в) xB =4,1 DB =6,09; г) xB =4,1 DB =2,3.

121

4. По вибірці обсягу n = 41 знайдена зміщена оцінка DB = 3 генеральної дисперсії. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральне сукупності.

а) 3,075; б) 2,93; в) 1,71 г) 1,75.

5. Знайти мінімальний об'єм вибірки, при якому з надійністю γ=0,925 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності буде дорівнювати 0,2. Відомо середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності σ=1,5.

а) n=179; б) n=216; в) n=298; г) n=380.

Тема 12. Перевірка статистичних гіпотез

1.Що таке “критична область” при перевірці гіпотези? а) імовірність, з якою буде прийнято невірне рішення; б) імовірність, з якою буде прийнято вірне рішення;

в) область значень критерію, при попаданні в яку гіпотеза приймається; г) область значень критерію, при попаданні в яку гіпотеза відхиляється.

2.Скільки параметрів у розподілу хі-квадрат?

а) 0; б) 2; в) 3; г) 1.

3. Для вибірки обсягу n=20, отриманої з нормальної генеральної сукупності, знайдено вибіркове середнє і виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення s=4,2. При рівні значущості α=0,05 перевірити основну гіпотезу H0 : a = 35 , якщо альтернативна гіпотеза

Hα : a ≠ 35 .

а) H0 приймаємо; б) H0 відхиляємо.

122

4. Використовуючи критерій Пірсона (χ-квадрат) з рівнем значущості α=0,01, перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної

1)знайти спостережуване значення критерію;

2)знайти критичне значення критерію.

а) χkp2 =1,7, Н0 відхиляємо; б) χkp2 =1,7, Н0 приймаємо; в) χkp2 =13,3, Н0 приймаємо; г) χkp2 =13,3, Н0 відхиляємо.

Теми 13, 15. Елементи теорії регресії. Елементи теорії кореляції

1. Якщо в рівнянні регресії y = β0 + β1 x коефіцієнтβ1 <0, то це означає, що зв’язок між X і Y:

а) прямий; б) зворотній; в) відсутній; г) немає вірної відповіді.

1)визначити β1* : а) –7,3; б) 3,2; в) 1,46; г) 1,2;

2)визначити β0* : а) 0; 6) 5,6; в) –3,83; г) 8,5;

3)обчислити КXY: а) 0,9; б) 1,745; в) –6,291; г) 8,105;

4)знайти коефіцієнт кореляції: а) 0,935; б) 1,145; в) –0,291; г) 0,805.

123

Тема 14. Елементи дисперсійного аналізу

1.У чому сутність дисперсійного аналізу?

2.Досліджується залежність урожайності пшениці від сорту пшениці, яких чотири. Результати досліджень наведені в таблиці:

При рівні значущості α=0,01 з’ясувати вплив сортності пшениці на її врожайність.

1)Знайти загальну середню: а) 19; б) 23,44; в) 13,78; г) 22,1;

2)обчислити міжгрупову дисперсію: а) 9,19; б) 17,1; в) 8,3; г) 2,3;

3)знайти спостережуване значення критерію: а) 2,5; б) 11,02; в) 10; г) 12,3;

4)знайти критичне значення критерію: а) вплив є істотним; б) вплив несуттєвий.

Варіант 3

Теми 1,2. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей. Основні теореми теорії ймовірностей, їх економічна інтерпретація

1. Подія А полягає у тому, що Ігор отримає залік, подія В - Віктор отримає залік. У якому пункті вірно визначено подію С – хоча б один з них отримає залік?

а) немає вірної відповіді; б) C=A+B; в) C=AB; г) C=A+B-AB.

124

2.Якій умові повинні задовольняти події В и С, щоб була справедлива формула Р(А) = Р(A/B) P(B) + P(A/C) P(C).

а) необхідні всі умови; б) Р(A/B) + P(A/C) = 1;

в) P(C) + P(B) = 1; г) Р(CB) = 0.

3.Кожна з літер слова "інтеграл" записана на окремому аркуші. Аркуші перемішані. Яка імовірність того, що з'явиться слово "гра" при витягуванні трьох аркушів (у порядку їх появи)?

а)1/336; б)3/336; в) 1/56; г) 1/8!.

4.У майстерні на верстатах А, В, С виробляють 25%, 35% та 40% усіх деталей, причому вони мають 15%, 12% та 6% браку відповідно. Знайти імовірність того, що навмання взята деталь – бракована.

а) 0,2; б) 0,5; в) 0,1035; г) 0,234

5.В урні 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 червоних куль однакового розміру. Навмання взято одну кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде біла або чорна?

а) 9/14; б) 10/15; в) 5/14; г) 0.

Тема 3. Схема незалежних випробувань

1. Проводиться n випробувань, в кожному з яких може відбутися подія А. Виберіть пункт, у якому є всі умови, що дозволяють за теоремою Муавра-Лапласа знайти ймовірність того, що число появ події А буде належати заданому інтервалу.

а) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова, результати випробувань незалежні;

б) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова;

в) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова і мала, результати випробувань незалежні;

г) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні мала.

125

2.Є 12 стандартних та 4 нестандартних деталі. Навмання беруть 3 з них (з поверненням). Знайти імовірність того, що серед взятих деталей хоча б одна нестандартна.

а) 0,422; б) 0,156; в) 0,578; г) 0,203.

3.База обслуговує 8 магазинів. Щодня вимоги на товари можуть поступити з імовірністю 0,6. Знайти найімовірніше число вимог, які можуть поступити у будь-який день.

а) 5; б) 2; в) 4; г) 3.

4.Чому дорівнює імовірність появи події в кожному випробуванні, якщо найімовірніше число появ події в 160 випробуваннях дорівнює 40?

а) 0,2; б) 0,25; в) 0,3; г) 0,24.

5. Імовірність виявити помилку на сторінці книжки дорівнює 0,001. Яка ймовірність у результаті перевірки книжки на 1000 сторінок виявити помилку на 6 сторінках.

а) 0,033690; б) 0,003066; в) 0,000511; г) 0,999405.

Тема 4. Випадкові величини та їх економічна інтерпретація

1. Яка з наведених рівностей є умовою нормування для дискретної випадкової величини?

2.Розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання характеризує:

а) частота; б) середнє квадратичне відхилення; в) дисперсія; г) асиметрія.

3.Задано закон розподілу дискретної випадкової величини:

126

Знайти p3 и M(X).

а) p3=0,6; M(X)=7,6; б) p3=0,7; M(X)=2,7; в) p3=0,6; M(X)=3,6; г) p3=0,8; M(X)=4.

4. Випадкова величина Х задана інтегральною функцією

P(1<X<3) дорівнює: а)1; б) 0,5; в) 2; г) 0,7.

5. Симетричний гральний кубик підкидають 1 раз. Нехай Х – кількість шісток, які при цьому з’являться. Записати функцію розподілу випадкової величини Х.

Тема 5. Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин

1.Розподіл випадкових величин, всі значення яких належать деякому проміжку і мають сталу щільність ймовірностей, називається:

а) біноміальним; б) рівномірним; в) нормальним; г) пуассонівським.

2.Як впливає параметр а на графік функції ƒ(х) загального нормального закону?

а) при а>0 крива ƒ(х) зміщується праворуч, при а<0 – ліворуч; б) при а>0 крива ƒ(х) зміщується ліворуч, при а<0 – праворуч; в) при а>0 крива ƒ(х) зміщується вгору, при а<0 – вниз; г) а не впливає на графік функції ƒ(х).

127

3.Для нормально розподіленої випадкової величини Х знайти Р(12 <Х < 14), якщо М(Х)=10, D(Х)=4.

а) 0,4772; б) 0,3413; в) 0,9185 г) 0,1359.

4.Ймовірність влучення стрілком у мішень дорівнює 2/3. Зроблено 15 пострілів.

Знайти М( Х ) і D( Х ), де Х – кількість влучень у мішень.

5. У партії з 10 деталей 2 браковані. Навмання виймається 3 деталі. Знайти ряд розподілу випадкової величини Х – кількості бракованих деталей серед вибраних.

Тема 6. Багатовимірні випадкові величини

1. Яка з числових характеристик двохвимірної випадкової величини характеризує розсіювання випадкової точки (Х,Y)

вздовж координатних осей ОХ, та ОY відповідно.

а) М( Х ); б) D( Х ); в) σ ( Х ); г) rxy.

2. Якщо між Х і Y існує лінійна залежність, то коефіцієнт кореляції дорівнює:

а) -2; б) ∞; в) 1; г) 0.

3. Закон розподілу системи двох випадкових величин Х і Y має вигляд:

128

Знайти М( Х /Y=5).

а) 2; б) 1,46; в) 1,45 г) 3,65.

4. Знайти ймовірність влучення точки (Х,Y) у півсмугу

(X<x, y1< Y<y2).

а) F(y2; y1)- F(x; y1); б) F(x; y2)- F(x; y1); в) F(y1; x)- F(y2; x); г) F(x; y2)+F(x; y1).

5. Знайти коефіцієнт кореляції rxy.

а) 0,08; б) -2; в) 0,32 г) 0,5.

Тема 7. Функції випадкового аргументу

Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-1; 1). Для випадкової величини Y=Х2 знайти:

1.щільність імовірності;

2.М(Y). а) 1/3; б) -1; в) 1/6 г) 0.

3.М(Y2). а) 45; б) 8,19; в) 5; г) 0,1.

4.D(Y). а) 13/180; б) 14/180; в) 1,1 г) 7,35.

5.σ (Y). а) 2,32; б) 0,41; в) 0,269 г) 0,13.

Тема 8, 9. Граничні теореми теорії ймовірностей

129