Теорія ймовірностей Заоч. 2010

μ3 = ∑(xi −nxB )3 ni = −516,59

DB = ∑xi2ni − (xB )2 = 275,31 n

σB = DB =16,59

As* = σμ33 = −0,11

B

Задача 3. Залежність кількості масла yi , що його споживає певна особа за місяць, від її прибутку в гривнях xi , наведена в таблиці:

100

∑nxi2 =15728,5 ,

Dx = ∑nxi2 − (x)2 =893,26 , Dy = ∑nyi2 − (y)2 =88,3,

Оскільки значення rB близьке до одиниці, то звідси випливає, що залежність між кількістю масла, споживаного певною особою, та її місячним прибутком майже функціональна.

Завдання для поточного контролю

101

Варіант 1 1. Результати вимірювання хі подані у табл.:

З надійністю γ = 0,99 побудувати довірчий інтервал для xГ .

2. Оцінки якості продукції у балах хі за результатами опитувань серед споживачів, наведені у вигляді дискретного розподілу. Обчислити Аs* .

3. Щомісячний прибуток на підприємстві у розрахунку на одного

σГ = 4 і вибіркове середнє для 100 робітників дорівняє xB = 221.

4.Залежність доходу підприємства yi , від чисельності персоналу xi , наведені в таблиці:

Потрібно: 1) побудувати кореляційне поле залежності ознаки Y від X; 2) визначити точкові незміщені статистичні оцінки β0*, β1*. 3) обчислити rxy ; 4) побудувати графік лінії регресії.

102

5. Досліджується залежність доходу 6 підприємств від суми інвестицій. Результати наведені в таблиці:

При рівні значущості α = 0,05 з’ясувати вплив інвестицій на доход.

Варіант 2

1.Виміривши прибуткову вартість 25 підприємств, знайшли вибіркову середню, що дорівнює 2,984. Із надійністю γ=0,99 побудувати довічний інтервал для середньої величини прибуткової вартості, якщо вибіркова дисперсія дорівнює 0,235.

2.Оцінки якості продукції у балах хі за результатами опитувань серед споживачів, наведені у вигляді дискретного розподілу:

Обчислити Es* .

3. За заданим дискретним статистичним розподілом вибірки:

Побудувати F*(x) і зобразити її графічно.

4. Вимірювалась швидкість руху автомобілів на певній ділянці шляху. Результати вимірів наведено в таблиці:

h = 2 16 - 18 18 - 20 20 - 22 22 - 24 24 - 26 26 - 28

103

Визначити гіпотетично, який закон розподілу має ознака Х – швидкість автомобіля. При рівні значущості перевірити правильність сформульованої нульової гіпотези.

5. Досліджується доход 6 підприємств від суми інвестицій. Результати наведені в таблиці:

При рівні значущості α = 0,05 з’ясувати вплив інвестицій на доход.

споживачів, наведені у вигляді дискретного розподілу. Обчислити Аs* .

3. Щомісячний прибуток на підприємстві у розрахунку на одного робітника Х = хi є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу N (a; 4) . При рівні значущості α = 0,01 перевірити правильність

104

гіпотези H0 : a = 435 , якщо альтернативна гіпотеза Hα : a ≠ 435 , коли відомо що σГ = 6 і вибіркове середнє для 130 робітників дорівняє

Потрібно: 1) побудувати кореляційне поле залежності ознаки Y від X; 2) визначити точкові незміщені статистичні оцінки β0*, β1*. 3) обчислити rxy ;

4) побудувати графік лінії регресії.

5. Досліджується доход 6 підприємств від суми інвестицій. Результати наведені в таблиці. При рівні значущості α = 0,05 з’ясувати вплив інвестицій на доход.

Варіант 4

1.Виміривши прибуткову вартість 27 підприємств, знайшли вибіркову середню, що дорівнює 3,948. Із надійністю γ=0,99 побудувати довічний інтервал для середньої величини прибуткової вартості, якщо вибіркова дисперсія дорівнює 0,252.

2.Оцінки якості продукції у балах хі за результатами опитувань серед

споживачів, наведені у вигляді дискретного розподілу:

Обчислити Es* .

3. За заданим інтервальним статистичним розподілом вибірки

Побудувати F*(x) і зобразити її графічно.

4. Вимірювалась швидкість руху автомобілів на певній ділянці шляху. Результати вимірів наведено в таблиці.

Визначити гіпотетично, який закон розподілу має ознака Х – швидкість автомобіля. При рівні значущості перевірити правильність сформульованої нульової гіпотези.

5. Досліджується доход 6 підприємств від суми інвестицій. Результати наведені в таблиці:

При рівні значущості α = 0,05 з’ясувати вплив інвестицій на доход.

Т е с т и

Варіант 1

Теми 1, 2. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей. Основні

106

теореми теорії ймовірностей, їх економічна інтерпретація

1. Яка з наступних подій є вірогідною: а) влучення в мішень при трьох пострілах;

б) поява 7 очок при підкиданні трьох гральних кубиків; в) поява не більше ніж 18 очок при підкиданні трьох гральних кубиків; г) запізнення поїзду.

2.Яке з тверджень вірне, якщо події А і В - незалежні. а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В); б) жодне невірне;

в) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ);

г) А тягне за собою В, а В тягне за собою А.

3.Яка ймовірність того, що при підкиданні грального кубика з’явиться не більше 4 очок?

а) 1/3; б) 1/4; в) 1/2; г) правильної відповіді немає.

4.Кожна з літер слова "інтеграл" записана на окремому аркуші. Аркуші перемішані. Яка імовірність того, що з'явиться слово "гра" при витягуванні трьох аркушів (у порядку їх появи)?

а)1/336; б)3/336; в) 1/56; г) 1/8!.

5.Є два однакових ящика з кулями. У першому ящику дві білі і одна чорна куля, в другому — одна біла і чотири чорні кулі. Навмання вибирають один ящик і з нього вибирають одну кулю. Яка ймовірність того, що куля виявиться білою?

а)13/15; б) 9/4; в) 2/3; г) 13/30.

Тема 3. Схема незалежних випробувань

1.Які з наведених випробувань не утворюють схему Бернуллі? а) стрільба по цілі; б) підкидання монети; в) підкидання кубика; г) перевірка навмання взятої деталі.

2.Проводиться n випробувань, в кожному з яких може відбутися подія

107

А. Виберіть пункт, у якому є всі умови, що дозволяють за теоремою Муавра-Лапласа знайти ймовірність того, що число появ події А буде належати заданому інтервалу.

а) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова, результати випробувань незалежні;

б) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова;

в) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова і мала, результати випробувань незалежні;

г) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні мала.

3.Чому дорівнює імовірність появи події в кожному випробуванні, якщо найімовірніше число появ події в 160 випробуваннях дорівнює 40? а) 0,2; б) 0,25; в) 0,3; г) 0,24.

4.Імовірність влучення стрілком у мішень при одному пострілі дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що при 10 пострілах буде 8 влучень?

а) 0,209; б) 0,282; в) 0,35; г) 0,273.

5.База обслуговує 8 магазинів. Щодня вимоги на товари можуть поступити з імовірністю 0,6. Знайти найімовірніше число вимог, які можуть поступити у будь-який день.

а) 3; б) 4; в) 5; г) 6.

108

Тема 4. Випадкові величини та їх економічна інтерпретація

1. Яке твердження є властивістю функції розподілу. а) F( x ) не більше 0; б) F( x ) не менше 1;

в) F( x ) невід’ємна; г) F( x ) спадає з ростом х.

2.Знайти математичне сподівання числа очок, які можуть з’явитися при підкиданні грального кубика.

а) 3; б) 1/2; в) 7/2; г) 5/2.

3.Які з наступних характеристик не є числовими?

а) математичне сподівання; б) мода; в) щільність розподілу; г) асиметрія.

Знайти інтегральну функцію розподілу X.

5. Випадкова величина Х задана інтегральною функцією

Знайти імовірність того, що Х прийме значення з проміжку (0;1/3).

Тема 5. Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин

1. Яка з наведених нижче випадкових величин може бути розподілена за законом Бернуллі?

а) число молекул в заданому об’ємі; б) число яблук у ящику вагою 50 кг;

109