Теорія ймовірностей Заоч. 2010

в) число червоних карт при 5 витягуваннях з перетасованої колоди без повернень; г) жодна.

2. Випадкова величина розподілена рівномірно в інтервалі (-2;2). Знайти М( Х ) і D( Х ).

а) М( Х )=0 D( Х )=1,33; б) немає вірної відповіді;

в) М( Х )=0 D( Х )=4; г) М( Х )=0,5 D( Х )=1,25.

3. За яких умов ймовірність влучення випадкової величини Х в інтервал (c,d) знаходять за формулою:

P( c < X < d ) =Φ( d σ− a ) −Φ( c σ− a ).

а) Х має рівномірний розподіл; б) Х має показниковий розподіл; в) Х має нормальний розподіл; г) Х має біноміальний розподіл.

4. Випадкова величина Х має показників розподіл з параметром 3. Знайти імовірність того, що Х потрапить в інтервал (0,13; 0,7).

а) 0,555; б) 1; в) 0,34 г) 0,445.

Тема 6. Багатовимірні випадкові величини

1.Двовимірна випадкова величина геометрично трактується як: а) довільна пряма на площині; б) довільна точка на прямій:

в) довільна точка на площині; г) довільна точка у просторі.

2.Що характеризує тісноту кореляційного зв’язку?

а) кореляційний момент; б) коефіцієнт кореляції; в) щільність розподілу; г) середнє квадратичне відхилення.

3. Закон розподілу системи двох випадкових величин Х і Y має вигляд:

110

Знайти М( Х ) і М(Y).

а) М( Х )=0,1882 М(Y)=7,3; б) М( Х )=3,56 М(Y)=4,4; в) М( Х )=4,4 М(Y)=3,56; г) М( Х )=2,1 М(Y)=0,7.

4. Знайти ймовірність влучення точки (Х,Y) у півсмугу

(х1<X<x2, Y<y).

а) F(x2; y)- F(x1; y); б) F(x; y2)- F(x; y1); в) F(y1; x)- F(y2; x); г) F(x; y2)+F(x; y1).

5. Задано двовимірний закон розподілу:

Обчислити σ(Y/X=30).

а) 2,11; б) -1; в) 1,45 г) 0.

Тема 7. Функції випадкового аргументу

Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

1.М( Х ) дорівнює: а) 2,02; б) -1,3; в) 3,2 г) 0.

2.М(Y) дорівнює: а) 11; б) -1,4; в) 4,5 г) 13,2.

3.М(Y2) дорівнює: а) 0,55; б) 123; в) 253,6; г) 134.

4.D(Y) дорівнює: а) 4,5; б) 79,36; в) 2,3; г) 0,14.

111

Тема 8, 9. Граничні теореми теорії ймовірностей

1. Якщо випадкова величина Х має обмежені математичне сподівання та дисперсію, то для довільного ε>0 має місце нерівність:

2. Яке повинна мати значення величина ε у нерівності Чебишова, щоб P( X − a < ε ) ≈ 0,99 , коли відомо, що D( Х )=4.

а) 400; б) 20; в) 2 г) 40.

3. Випадкова величина Х має закон розподілу N(3;4). Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність |x-a|< ε, якщо ε=3σ.

а) 0,94; б) 0,89; в) 0,95 г) 0,79.

Тема 10, 11. Первинне опрацювання статистичних даних. Статистичне та інтервальне оцінювання параметрів розподілу

1. Для заданої вибірки із генеральної сукупності

6,9,5,3,6,6,9,3,5,6,9,5,6,6,9,6,9,6,6,6 обчислити xB , DB .

xB вибирається: а) М( Х ); б) D( Х ); в) σ ( Х ); г) M e .

3. По вибірці обсягу n = 51 знайдена зміщена оцінка DB = 5 генеральної дисперсії. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральне сукупності.

а) 2,26; б) 4,9; в) 2,21 г) 5,1.

4. Що таке довірчий інтервал при знаходженні оцінок?

112

а) інтервал, в якому результат експерименту лежить з заданою імовірністю; б) інтервал, в якому оцінюваний параметр лежить з заданою імовірністю; в) інтервал, в який випадкова величина попадає з заданою імовірністю; г) інтервал, в якому середнє арифметичне лежить з заданою імовірністю.

5. Знайти з надійністю 0,95 довірчий інтервал оцінки математичного сподівання а нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності, якщо відомі вибіркова середня xB =14, об’єм вибірки n=25 та середнє квадратичне відхилення σ=5 генеральної сукупності.

а) (12,04; 15,96); б) (7,63; 12,77); в) (14,23; 19,37); г) (1998,04; 2001,96).

Тема 12. Перевірка статистичних гіпотез

1. Статистичним критерієм називають:

а) випадкову величину з невідомим розподілом. б) випадкову величину з відомим розподілом,

в) випадкову величину, розподіл якої треба визначити; г) випадкову величину, що має нормальний розподіл;

2.Скільки параметрів у нормального розподілу?

а) 1; б) 2; в)3; г) 0.

3.Щомісячний прибуток на підприємстві у розрахунку на одного робітника Х = хi є випадковою величиною, що має нормальний закон

розподілу N( a; 4 ). При рівні значущості α=0,01 перевірити правильність H0 : a = 435 , якщо альтернативна гіпотеза Hα : a ≠ 435 , коли відомо що σГ=4 і вибіркове середнє для 130 робітників дорівняє xB = 421 . а) H0 приймаємо; б) H0 відхиляємо.

4. Використовуючи критерій Пірсона (χ-квадрат) з рівнем значущості α=0,05, перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної

113

сукупності X:

1)знайти спостережуване значення критерію;

2)знайти критичне значення критерію.

а) χcn2 =2,47 χkp2 =6, Н0 приймаємо; б) χcn2 =2,47 χkp2 =6, Н0 відхиляємо;

в) χcn2 =2,47 χkp2 =7,82, Н0 приймаємо; г) χcn2 =2,47 χkp2 =7,82, Н0

відхиляємо.

Теми 13, 15. Елементи теорії регресії. Елементи теорії кореляції

1. Яка з наведених залежностей між X і Y визначає модель парної лінійної регресії?

2. Залежність між собівартістю X та кількістю виготовлених виробів Y наведено в таблиці:

1)визначити β1* : а) –1; б) 3,5; в) 7,34; г)-4.

2)визначити β0* : а) 0; б) 5,2; в) 8,34; г) 8,5.

3)обчислити КXY: а) 0,04; б) –0,25; в) 3,4; г) 4,83.

4)знайти коефіцієнт кореляції: а) –1; б) 0,35; в) –0,946; г) 0,874.

Тема 14. Елементи дисперсійного аналізу

1. Записати математичну модель для однофакторного дисперсійного аналізу.

114

2. У результаті проведення досліду з метою з’ясування впливу чорного пару на врожайність пшениці з ділянки в 9 га дістали такі результати:

врожайність пшениці.

1)Знайти загальну середню: а) 11,4; б) 27,12; в) 13; г) 20,1;

2)обчислити міжгрупову дисперсію: а) 7,57; б) 7,1; в) 1,3; г) 22,7;

3)знайти спостережуване значення критерію: а) 5,2; б) 11,36; в) 11; г) 12,7;

4)знайти критичне значення критерію: а) вплив є істотним; б) вплив несуттєвий.

Варіант 2

Теми 1,2. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей. Основні теореми теорії ймовірностей, їх економічна інтерпретація

1. При підкиданні грального кубика позначимо А – подію, що полягає в появі грані з номером 2, В – появу грані з парним номером. Яке з тверджень невірне?

а) A тягне за собою B; б) B тягне за собою A;

в) Р(В) > P(А); г) АВ = А.

2. Яке з тверджень вірне, якщо мова йде про протилежні події:

а) якщо дві події можливі і несумісні, то їх називають протилежними; б) ймовірність появи однієї з протилежних подій завжди більша за ймовірність іншої; в) подія протилежна до даної події є неможливою;

115

г) сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює одиниці.

3.У ящику є 4 білих і 7 чорних куль. Яка ймовірність того, что навмання взята куля буде білою?

а) 1/4; б) 4/11; в) 4/7; г) 7/4.

4.У партії з 50 виробів 5 бракованих. З партії вибирають навмання 6 виробів. Визначити ймовірність того, що з 6 виробів 2 виявляться бракованими.

5. У ящику 40 деталей: 20 – першого ґатунку, 15 – другого, 5 – третього. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь буде не третього ґатунку (подія А).

а) 1/8; б) 3/16; в) 7/8; г) немає вірної відповіді.

Тема 3. Схема незалежних випробувань

1.Проводиться n випробувань. Які умови повинні виконуватись, щоб ці випробування утворювали схему Бернуллі?

а) кожне випробування має тільки два наслідки, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова, результати випробувань незалежні;

б) кожне випробування має n наслідків, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова, результати випробувань незалежні; в) кожне випробування має тільки два наслідки, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова; г) кожне випробування має тільки два наслідки.

2.Проводиться n випробувань, в кожному з яких може відбутися подія А За якої умови використовується формула Пуассона?

а) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова і досить мала, результати випробувань незалежні;

б) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні

116

однакова;

в) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні однакова і мала, результати випробувань незалежні;

г) число n велике, ймовірність події А в кожному випробуванні мала.

3.Імовірність влучення стрілком у десятку дорівнює 0,6. Чому дорівнює імовірність того, що при 8 пострілах буде 6 влучень у десятку?

а) 0,209; б) 0,418; в) 0,2; г) 0,041.

4.Скільки разів треба кинути гральний кубик, щоб найімовірніше число появи трійки дорівнювало 55?

а) 40; б) 100; в) 330; г) 410.

5.Імовірність виготовлення виробу відмінної якості дорівнює 0,9. Виготовлено 50 виробів. Чому дорівнює найімовірніше число виробів відмінної якості?

а) 45; б) 47; в) 50; г) 10.

Тема 4. Випадкові величини та їх економічна інтерпретація

1. Виберіть малюнок, на якому зображено графік, який не може бути графіком функції розподілу.

117

2. Знайти дисперсію випадкової величини Х, що задана законом

а) 86/8; б) –74/8; в) 1; г) 74/8.

3.Які з наступних характеристик не відносяться до законів розподілу? а) функція розподілу; б)імовірнісний многокутник; в) щільність; г) медіана.

4.Дана функція розподілу неперервної випадкової величини Х:

Знайти диференціальну функцію розподілу f(x).

5. Задана диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини Х

Знайти інтегральну функцію розподілу X.

Тема 5. Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин

1. Яка з наведених нижче випадкових величин може бути розподілена рівномірно?

а) число очок на грані підкинутого кубика; б) число яблук у ящику вагою 50 кг;

в) похибка вимірювання прибором у межах ціни ділення шкали;

118

г) зріст студента.

Тема 6. Багатовимірні випадкові величини

1. Яка з числових характеристик двохвимірної випадкової величини характеризує розсіювання випадкової точки (Х,Y) вздовж координатних осей ОХ, та ОY відповідно.

а) М( Х ); б) D( Х ); в) σ ( Х ); г) rxy.

2. Якщо між Х і Y існує лінійна залежність, то коефіцієнт кореляції дорівнює:

а) -2; б) ∞; в) 1 г) 0.

3. Закон розподілу системи двох випадкових величин Х і Y має вигляд:

Знайти М( Х /Y=5).

а) 2; б) 1,46; в) 1,45 г) 3,65.

4. Знайти ймовірність влучення точки (Х,Y) у півсмугу

(X<x, y1< Y<y2).

а) F(y2; y1)- F(x; y1); б) F(x; y2)- F(x; y1); в) F(y1; x)- F(y2; x); г) F(x; y2)+F(x; y1).

5. Знайти коефіцієнт кореляції rxy.

а) 0,08; б) -2; в) 0,32 г) 0,5.

2. Випадкова величина розподілена за Пуассонівським законом з

119