Теорія ймовірностей Заоч. 2010

ЗМІСТ НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ «МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ»

МОДУЛЬ 1. ВИЩА МАТЕМАТИКА

Змістовий модуль 1. Алгебра і аналітична геометрія

Тема 1. Елементи теорії матриць і визначників

Матриці, основні види матриць, дії з матрицями . Визначники другого і третього порядку. Властивості визначників, способи їх обчислення. Обернена матриця, способи побудови оберненої матриці. Ранг матриці.

Тема 2. Загальна теорія систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Системи лінійних рівнянь і їх сумісність. Геометрична інтерпретація системи рівнянь другого порядку. Кількість розв’язків системи лінійних рівнянь. Способи розв'язування систем лінійних рівнянь: Крамера, Гаусса.

Тема 3. Елементи матричного аналізу

Матричний запис системи лінійних рівнянь. Матричний спосіб розв’язання системи лінійних рівнянь.

Лінійні оператори. Власні вектори і власні значення. Квадратичні форми. Приклади застосування матричного аналізу в економіці: витрати сировини та робочого часу при виготовленні продукції, кредитування підприємств, реалізація і розподіл продукції.

Тема 4. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Вектори, основні означення. Базис. Розкладання вектора за базисом. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів, їх властивості та геометричне застосування: обчислення площ

10

паралелограма і трикутника і об'ємів призми та піраміди. Відстань між точками.

Елементи аналітичної геометрії на площині. Пряма на площині, види рівнянь прямої на площині. Умови паралельності і перпендикулярності прямих. Кут між прямими на площині. Лінії другого порядку: парабола, гіпербола, еліпс.

Рівняння прямої в просторі. Напрямний вектор прямої. Параметричні рівняння прямої. Рівняння площини. Пряма як перетин двох площин. Умови паралельності і перпендикулярності прямих і площин.

Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці

Тема 5. Елементи теорії границь

Границя послідовності. Границя функції. Нескінченно малі і нескінченно великі величини. Види невизначеностей. Обчислення границь функцій. Перша і друга важливі границі.

Тема 6. Диференціальне числення функції однієї змінної

Елементарні функції. Похідна функції. Геометричний та економічний зміст похідної. Похідні основних функцій. Правила диференціювання. Похідна складної, оберненої, заданої неявно функції. Диференціал функції. Геометрична інтерпретація диференціала. Основні теореми диференціального числення. Обчислення границь за правилом Лопіталя. Формули Тейлора і Маклорена.

Тема 7. Дослідження функцій та побудова їх графіків

Область визначення функції. Неперервність функцій. Точки розриву 1-го та 2-го роду. Асимптоти функції. Дослідження функції

11

на екстремум. Необхідна і достатні умови існування екстремуму. Найбільше і найменше значення функції на відрізку. Побудова графіків.

Тема 8. Граничний (маргінальний) аналіз

Застосування похідної в економіці. Граничні показники в мікроекономіці: гранична собівартість продукції, граничний доход, граничні витрати, гранична продуктивність праці і т.п. Гранична схильність до споживання та збереження в макроекономічній моделі національного доходу. Еластичність економічних показників. Максимізація прибутку. Оптимізація оподаткування підприємств. Закон спадної ефективності виробництва.

Змістовий модуль 3. Диференціальне числення функції багатьох змінних та його застосування в економіці

Тема 9. Основні поняття функції багатьох змінних та їх інтерпретація в економічній теорії

Функція багатьох змінних. Область визначення. Інтерпретація в економіці: функція корисності, виробничі функції.

Тема 10. Диференційованість функції багатьох змінних

Частинні похідні. Повна похідна. Повний диференціал. Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях. Похідна складної та заданої неявно функції. Похідна за напрямом. Градієнт функції та його властивості. Поверхні та лінії рівня. Лінія та поверхня байдужості в економічній теорії споживання. Ізокванта випуску в теорії виробника..

12

Тема 11. Екстремум та умовний екстремум функції багатьох змінних

Дослідження функції на екстремум. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області. Умовний екстремум функції багатьох змінних. Метод Лагранжа. Типові оптимізаційні задачі економіки в сфері виробництва і споживання: прибуток від виробництва товарів, задача цінової дискримінації, оптимізаційний розподіл ресурсів, гранична норма заміни факторів.

Змістовий модуль 4. Інтегрування функцій. Диференціальні та різницеві рівняння

Тема 12. Інтегральне числення

Невизначений інтеграл та його властивості. Первісна. Геометричний зміст невизначеного інтеграла. Таблиця інтегралів основних функцій. Інтегрування методом заміни змінної. Інтегрування частинами. Інтегрування раціональних дробів. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій.

Визначений інтеграл, геометричний зміст. Основні властивості визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбниця. Методи інтегрування. Наближене обчислення визначеного інтеграла за формулами прямокутників, Симпсона. Невласні інтеграли з однією або обома нескінченими границями. Поняття про подвійний інтеграл. Дослідження збіжності інтегралів. Приклади застосування визначеного інтеграла в економіці.

Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння

Диференціальні рівняння. Геометричний зміст загального і частинного розв’язків. Задача Коші. Особливі розв’язки.

13

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння Бернуллі.

Диференціальні рівняння вищих порядків. Основні поняття та визначення. Диференціальні рівняння, які розв’язуються методом зниження порядку. Однорідні і неоднорідні лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами другого і вищих порядків. Характеристичне рівняння.

Різницеві рівняння. Основні поняття: сітки та сіткові функції, лінійні звичайні різницеві рівняння та властивості їх розв’язків. Лінійні однорідні та неоднорідні різницеві рівняння. Системи лінійних різницевих рівнянь. Застосування різницевих рівнянь в економіці: модель ринку з запізненням збуту, ринкова модель з запасами, динамічна модель Леонтьєва.

Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки

Тема 14. Ряди та їх застосування

Числові ряди. Збіжні і розбіжні ряди. Необхідний признак збіжності ряду. Основні властивості рядів. Геометричний, гармонічний, узагальнений гармонічний ряди. Ряди з додатними членами. Теореми порівняння. Достатні признаки збіжності: Даламбера, Коші радикальний та інтегральний. Ряди з додатними і від'ємними членами, знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність. Теорема Лейбниця.

Степеневі ряди. Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду. Властивість степеневого ряду: почленне диференціювання та

14

інтегрування. Розкладання функцій в степеневі ряди. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень.

Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки

Прості і складні відсотки у фінансових розрахунках. Необхідна відсоткова ставка, дисконтування, неперервні відсотки. Еквівалентність простих і складних ставок відсотків. Розрахунок номінальної ставки і ставки ефективності.

МОДУЛЬ 2. ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Змістовий модуль 1. Теорія ймовірностей

Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей

Випадкові події. Операції над подіями.

Тема 2. Основні теореми теорії ймовірностей, їх економічна інтерпретація

Класичне означення ймовірностей. Статистична ймовірність. Умовна ймовірність. Формули множення та додавання ймовірностей. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

Тема 3. Схема незалежних випробувань

Формула Бернуллі. Локальна теорема. Інтегральна теорема. Формула Пуассона.

Тема 4. Випадкові величини та їх економічна інтерпретація

Визначення випадкових величин. Економічна інтерпретація випадкових величин.

15

Тема 5. Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин

Функція розподілу ймовірностей. Щільність ймовірностей. Математичне сподівання. Дисперсія. Початкові та центральні моменти. Асиметрія і ексцес.

Тема 6. Багатовимірні випадкові величини

Система двох випадкових величин. Коефіцієнт кореляції. Функція розподілу та щільність ймовірностей системи двох випадкових величин. Числові характеристики системи двох випадкових величин.

Тема 7. Функції випадкового аргументу

Функції дискретного випадкового аргументу. Числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу. Функції неперервного випадкового аргументу та їх числові характеристики.

Тема 8. Граничні теореми теорії ймовірностей

Нерівність Чебишова. Теорема Чебишова. Центральна гранична теорема теорії ймовірностей.

Тема 9. Елементи теорії випадкових процесів і теорії масового обслуговування

Поняття випадкового процесу. Марковські випадкові процеси та елементи теорії масового обслуговування.

Змістовий модуль 2. Математична статистика

Тема 10. Первинне опрацювання статистичних даних

Генеральна та вибіркова сукупності. Статистичні розподіли вибірок. Гістограма і полігон. Числові характеристики вибірки.

16

Тема 11. Статистичне та інтервальне оцінювання параметрів розподілу.

Точкові статистичні оцінки. Виправлена дисперсія. Інтервальні статистичні оцінки.

Тема 12. Перевірка статистичних гіпотез

Визначення статистичної гіпотези. Нульова й альтернативна гіпотези; проста і складна. Помилки першого і другого роду. Статистичний критерій. Критична область, критична точка. Загальна методика перевірки статистичних гіпотез. Критерій узгодженості Пірсона.

Тема 13. Елементи дисперсійного аналізу

Модель експерименту. Однофакторний аналіз.

Тема 14. Елементи теорії регресії

Рівняння лінійної парної регресії. Визначення параметрів парної функції регресії. Множинна регресія.

Тема 15. Елементи теорії кореляції

Функціональна, статистична і кореляційна залежності. Вибірковий коефіцієнт кореляції та його властивості.

17

2. РОЗПОДІЛ БАЛІВ, ЩО ПРИСВОЮЮТЬСЯ СТУДЕНТАМ

1-й семестр:

18

Шкала оцінювання:

19