2.4. Решение дифференциальных уравнений
Задачи, относящиеся к анализу динамических систем и их математическому моделированию, базируются на решении дифференциальных уравнений, как правило, не имеющих аналитического решения. Поэтому в Mathcad 2000/2001 PRO была введена новая функция для решения одиночных дифференциальных уравнений odesolve, которая используется в составе вычислительного блока Given.
Функция odesolve(x,b[,step]) возвращает решение дифференциального уравнения, описанного в блоке Given, при заданных начальных условиях и конце интервала интегрирования b.
[,step]) – квадратные скобки указывают, что этот параметр функции может отсутствовать.
Эта функция имеет ряд особенностей. Если указано число шагов step, то решение выполняется с фиксированным шагом, иначе шаг выбирает система адаптивным методом.
Полученное решение можно выводить на график или в виде таблицы. Аналитическое значение решения не выводится, но с ним можно выполнять математические преобразования, например, дифференцировать.
Для подготовки блока решения следует выполнить следующие действия:
-- Вводится директива Given.
-- После директивы вводится, дифференциальное уравнение (знак равенства вводится комбинацией ‘Ctrl’+’=’ (логическое равенство), знак производной вводится комбинацией клавиш ‘Ctrl’ + ‘F7’).
-- Задаются начальные значения искомой функции и всех ее производных, кроме старшей (равенство логическое).
-- Искомой переменной присвоить значение функции odesolve с соответствующими параметрами.
Например, задано уравнение
начальные условия
х [0;2]
Решение:
-- Для построения графика по результату нажимаем соответствующую кнопку на панели Graph, указываем переменные и имя функции и щелкаем мышкой вне графика, получится следующий результат:
-- Для вывода результата в таблицу задаем диапазон изменения аргумента с заданным шагом, вводим “у(х)=”, получаем следующий результат:
Задание к лабораторной работе №4
Решение дифференциальных уравнений
В соответствии с номером своего варианта задания выбрать из таблицы 6 дифференциальное уравнение. Решить, используя odesolve. Начало и конец интервала выбрать из таблицы.
Таблица 6. Варианты заданий
|
№ варианта |
Дифференциальное уравнение второго порядка |
Начальные условия |
Конец интервала |
|
1 |
|
|
5 |
|
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
6 |
|
6 |
|
|
4 |
|
7 |
|
|
2 |
|
8 |
|
|
3 |
|
9 |
|
|
2.7 |
|
10 |
|
|
6 |
2.5. Интегрирование
С помощью пакета Mathcad можно определять значение определенных интегралов на заданном промежутке или получить выражение для неопределенного интеграла. Для получения значения определенного интеграла необходимо воспользоваться панелью Calculus.
Cледует выполнить следующие шаги:
-- На панели Calculus выбрать кнопку со значком определенного интеграла.
-- Ввести значения концов отрезка и ввести подынтегральную функцию.
-- Ввести знак равенства, появится искомое значение.
Пример решения.
Найти значение определенного интеграла на отрезке [0;2], если подынтегральная функция (x+1)ex.
Решение:
Для получения символьного решения при нахождении неопределенного интеграла следует выполнить следующую последовательность действий:
-- На панели Calculus выбрать кнопку со значком неопределенного интеграла;
-- Ввести подынтегральную функцию;
--С панели Evaluation ввести знак “→”, позволяющий получить символьное решение, и щелкнуть левой кнопкой мышки по свободному месту на листе, после стрелки появится искомое выражение.
Пример решения:
Вычислить неопределенный интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид
Решение:
