Министерство образования и науки Украины
Севастопольский национальный технический университет
Кафедра технической кибернетики
ОТЧЁТ
По лабораторной работе №1
“ Решение СЛАУ c применением метода LU-разложения.”
Выполнил: студент гр. А-22д
Проверил: старший преподаватель
Захаров В.В.
Севастополь
2010
1. Цель работы
Изучение и освоение численных методов линейной алгебры: прямых и итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, методов вычисления определителей матриц и обращения матриц.
Приобретение навыков разработки и применения подпрограмм, реализующих алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений, вычисления определителей матриц и обращения матриц на основе прямых и итерационных методов.
Изучение и освоение способов реализации соответствующих вычислительных алгоритмов для уменьшения вычислительной погрешности.
2. Постановка задачи
Составить программу для решения систем линейных алгебраических уравнений, приведённых ниже, на основе метода LU-разложения с реализацией стратегии полного выбора ведущего элемента.
№ вар |
A1x=b1 |
A2x=b2 |
||
A1 |
b1 |
A2 |
b2 |
|
9 |
3,56 4 12 --0,8 2 4 1,2 3,4 3,6 -2 13,33 0,4 0,98 -2,3 -16 -9,8 |
3 5 -3 -1 |
2 5 -4 --6 1 -1 1 1 1 3 5 -3 1 2 -9 -3 |
5 -1 -5 0 |
3. Краткие теоретические сведения
Метод LU-разложения относится к методам мультипликативного разложения матрицы. Алгоритм LU-разложения основывается на методе Гаусса (последовательного исключения переменных из уравнения системы). Алгоритм состоит из n-1 этапов. Идея построения может быть отображена следующей схемой:
A=>A1=>…=>Ak-1=>Ak=>…=>An-1=U
На каждом этапе увеличивается количество нулевых элементов под диагональю в соответствии с прямым ходом метода Гаусса, при этом множители lij, на которые умножается строка с ведущим элементом перед её вычитанием из последующих строк, записываются в матрице L.
В результате LU-разложения матрицы коэффициентов СЛАУ, она представляется в виде произведения 2х матриц – нижней треугольной L и верхней треугольной U:
A=LU;
Поскольку Ax=b, в результате несложных преобразований, принимая Ux=y, получим пару формул:
Ly=b
Ux=y,
Вместе с A=LU они определяют метод LU-разложения.
Отличительная особенность метода состоит в том, что при выполнении прямого хода, в отличие от алгоритма Гаусса, преобразуется только матрица А (вектор правых частей b не преобразуется), причём при выполнении прямого хода последовательно вычисляются и запоминаются элементы двух матриц – L и U. Следует отметить, что так как эти матрицы треугольные (нижняя и верхняя соответственно) и, кроме того, равные единице диагональные элементы матрицы L запоминать не нужно, то для запоминания элементов этих матриц достаточно двумерного массива размера nxn. Чаще всего элементы этих матриц хранятся в массиве А, постепенно, в процессе преобразований на этапе прямого хода, вытесняя элементы матрицы А. При обратном ходе в методе LU- разложения вначале по второй формуле в вычисляется вспомогательный вектор у, а уже затем – х. Эта модификация алгоритма Гаусса решения СЛАУ оказывается наиболее удобной и эффективной в том случае, когда необходимо решить несколько СЛАУ с одной и той же матрицей коэффициентов, но разными правыми частями. Последнее свойство делает метод LU- разложения удобным, в частности, при вычислении обратной матрицы (обращении матрицы).
Для уменьшения вычислительной погрешности на каждом к-ом этапе прямого хода алгоритма Гаусса находится наибольший по модулю элемент aij(k-1),i,j є {k,k+1,…,n}. Затем, если i≠k, производится перестановка k-ой и i-ой строк в матрице A и в векторе bk-1, а, если j≠k, перестановка k-ого и j-ого столбцов в матрице A. При этом необходимо запоминать перестановки строк и столбцов A, дабы в дальнейшем иметь возможность переформировать элементы вектора b и вектора решений x в соответствии с выполненными перестановками.
Реализация алгоритма полного выбора при выполнении прямого хода метода LU- разложения означает выполнение LU-разложения не матрицы А, а матрицы
PrAPc=LU.
Матрицы перестановок Pr и Рс характеризуют выполненные при реализации алгоритма полного выбора перестановки строк и столбцов матрицы А соответственно. В этом случае описание метода LU- разложения принимает вид:
PrAPc=LU, Ly=Prb, Uz=y, x=Pcz.