§6. Замена переменных в тройном интеграле

I Общий случай

Пусть имеем две прямоугольные системы координат в пространстве и, и систему функций

(1)

которые устанавливают взаимно-однозначное соответствие между точками некоторых областей ив этих системах координат. Предположим, что функции системы (1) имеют внепрерывные частные производные. Определитель, составленный из этих частных производных

,

называют якобианом (или определителем Якоби) системы функций (1). Мы будем предполагать, что в.

В сделанных выше предположениях имеет место следующая общая формула замены переменных в тройном интеграле:

Как и в случае двойного интеграла, взаимная однозначность системы (1) и условие могут нарушаться в отдельных точках, на отдельных линиях и на отдельных поверхностях.

Система функций (1) каждой точке ставит в соответствие единственную точку. Эти три числаназывают криволинейными координатами точки. Точки пространства, для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуют т.н. координатную поверхность.

II Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Цилиндрическая система координат (ЦСК) определяется плоскостью , в которой задана полярная система координат и осью, перпендикулярной этой плоскости. Цилиндрическими координатами точкипространства называют тройку чисел, где– полярные координаты точки– проекции точкина плоскость, а– это координаты проекции точкина осьили.

В плоскости введем обычным образом декартовы координаты, ось аппликат направим по осиЦСК. Теперь нетрудно получить формулы, связывающие цилиндрические координаты с декартовыми:

(3)

Эти формулы отображают областьна все пространство.

Координатными поверхностями в рассматриваемом случае будут:

1) – цилиндрические поверхности с образующими, парал-лельными оси , направляющими которых служат окружности в плоскости, с центром в точке;

2) – полуплоскости, проходящие через ось ;

3) – плоскости, параллельные плоскости .

Якобиан системы (3):

.

Общая формула в случае ЦСК принимает вид:

Замечание 1. Переход к цилиндрическим координатам рекомендуется в случае, когда область интегрирования – это круговые цилиндр или конус, или параболоид вращения (или их части), причем ось этого тела совпадает с осью аппликат .

Замечание 2. Цилиндрические координаты можно обобщить так же, как и полярные координаты на плоскости.

Пример 1. Вычислить тройной интеграл от функции

по области , представляющей собой внутреннюю часть цилиндра, ограниченную конусоми параболоидом.

Решение. Эту область мы уже рассматривали в §2, пример 6, и получили стандартную запись в ДПСК. Однако, вычисление интеграла в этой области затруднительно. Перейдем в ЦСК:

.

Проекция телана плоскость– это круг. Следовательно, координатаизменяется от 0 до, а– от0 до R. Через произвольную точку проведем прямую, параллельную оси. Прямая войдет вна конусе, а выйдет на параболоиде. Но конусимеет в ЦСК уравнение, а параболоид– уравнение. Итак, имеем

.

III Тройной интеграл в сферических координатах

Сферическая система координат (ССК) определяется плоскостью , в которой задана ПСК, и осью, перпендикулярной плоскости.

Сферическими координатами точки пространства называют тройку чисел, где– полярный угол проекции точки на плоскость,– угол между осьюи вектороми.

В плоскости введем декартовы координатные осииобычным образом, а ось аппликат совместим с осью. Формулы, связывающие сферические координаты с декартовыми таковы:

(4)

Эти формулы отображают область на всё пространство.

Якобиан системы функций (4):

.

Координатные поверхности составляют три семейства:

1) – концентрические сферы с центром в начале координат;

2) – полуплоскости, проходящие через ось ;

3) – круговые конусы с вершиной в начале координат, осью которых служит ось .

Формула перехода в ССК в тройном интеграле:

Замечание 3. Переход в ССК рекомендуется, когда область интегрирования – это шар или его часть. При этом уравнение сферы переходит в. Как и ЦСК, рассмотренная ранее, ССК «привязана» к оси. Если центр сферы смещён на радиус вдоль координатной оси, то наиболее простое сферическое уравнение получим при смещении вдоль оси:

.

Замечание 4. Возможно обобщение ССК:

с якобианом . Эта система функций переведет эллипсоид

в «параллелепипед»

.

Пример 2. Найти среднее расстояние точек шара радиуса от его центра.

Решение. Напомним, что среднее значение функции в области– это тройной интеграл от функции по области деленный на объём области. В нашем случае

.

Итак, имеем