III Вычисление массы полоской фигуры

Рассмотрим в плоскости материальную пластину, т.е. некоторую область, в которой распределено некое вещество с поверхностной плотностью . Тогда, как известно (см. § 1, IV), масса всей пластины есть двойной интеграл по от :

Один из примеров вычисления массы приведён в § 3. Рассмотрим ещё один характерный пример.

Пример 4. Вычислить массу прямоугольного равнобедренного тре-угольника с гипотенузой . Известно, что плотность в любой точке треугольника пропорциональна расстоянию от до гипотенузы, а в вершине прямого угла равна .

C

Решение. Впишем данный треугольник в систему координат так, как показано на рисунке. Тогда координаты вершин треугольника:

.

Уравнения катетов: (левый) и

(правый). Таким образом, область можно записать так:

Лучше, однако, записать область иначе:

Далее, по условию , т.е. . Коэффициент пропорциональности находим из условия

Итак, для искомой массы имеем:

Отметим, что размерность полученного ответа – это размерность массы.

Замечание. Область интегрирования симметрична относительно оси , а подынтегральная функцияв симметричных точках принимает равные значения. Поэтому можно ограничиться вычислением интеграла по одной, например, правой половине области и затем удвоить полученный результат:

IV Вычисление координат центра масс пластины

Известно из физики, что, если масса распределена дискретно в отдельных точках, то координатыцентра масс такой системы материальных точек вычисляются по формулам

в которых – масса, сосредоточенная в точке.

Пусть теперь в плоской области имеем непрерывное распределение массы с поверхностной плотностью. Чтобы найти координаты центра масс такой области, поступим обычным образом. Разобьём областьна отдельные частии выберем точкиМасса, распределенная в, приближенно равна, где– площадь области. Если считать, что вся массасосредоточена в точке, то придём к дискретному распределению массы, и поэтому

Чтобы получить точные значения для и, необходим переход к пределу при

Но три суммы в написанных выше формулах – это интегральные суммы и в пределе дадут интегралы:

Интегралы, стоящие в числителях этих формул, называют статическими моментами области относительно осейисоответственно.

Пример 5. Найти положение центра масс круга радиуса , если плотность в каждой точки круга пропорциональна расстоянию от до фиксированной точки окружности.

Решение. Пусть центр круга имеет коорди-наты , а фиксированная точка из условия – это начало координат. Теперь условия задачи звучат так: “Найти координаты центра масс фигуры , ограниченной линией , если поверхностная плотность , т.е. .”

Вычисляем сначала массу области (она стоит в знаменателях формул для и ). Так как – круг, то лучше перейти в ПСК, уравнение окружности при этом имеет вид

. Итак:

Теперь вычисляем статические моменты области:

При вычислении использованы свойства интегралов по симметричному промежутку от чётной и нечётной функции.

Имеем для координат центра масс:

Результат можно получить без вычисления . Область симметрична относительно оси , а плотность в симметричных точках одинакова. Следовательно, центр масс лежит на оси симметрии.

Итак, центр масс данного круга лежит на диаметре, проходящем через фиксированную точку из условия примера, на расстоянии от этой точки.