§8. Несобственный двойной интеграл

Рассмотрим неограниченную замкнутую область . Неограниченность означает, что вне любого кругаКррадиусас центром в начале координат имеются точки области. Примерами таких областей могут служить полоса, или квадрант.

Определение 1. Говорят, что последовательность областей исчерпывает неограниченную область, если: 1)– ограничены и замкнуты; 2); 3) часть области, содержащаяся в кругеКрпроизвольного радиуса, целиком лежит в некоторой. Из этих условий вытекает, что.

Примером такой последовательности может служить . Пусть теперь в неограниченной замкнутой областизадана непрерывная функция. Тогда она непрерывна и во всякой– ограниченной замкнутой части областии, следовательно, существует двойной интеграл

Определение 2. Несобственным двойным интегралом от функции по неограниченной областиназывают предел

где – исчерпывающая последовательность. Если этот предел существует, конечен и не зависит от выбора, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Пусть область – правильная, т.е.

причём и могут равняться , а и – . Примем без доказательства теорему.

Теорема. Если функция непрерывна и неотрицательна в правильной неограниченной области, то

причём двойной интеграл сходится, если сходится повторный.

Используем понятие несобственного двойного интеграла для вычисления т.н. интеграла Пуассона

Прежде всего, отметим, что этот несобственный интеграл 1^го рода сходится по первому признаку сравнения. Действительно, для имеем:

Интеграл же – сходится.

Рассмотрим неотрицательную функцию и проинтегрируем её по 1^му квадранту:

Здесь последний интеграл является повторным лишь формально, на самом же деле – это произведение двух одинаковых интегралов.

Итак, повторный интеграл сходится, следовательно, сходится и двойной. Значит, при вычислении несобственного двойного интеграла по определению мы можем выбрать удобную для нас исчерпывающую последовательность областей. Пусть, например, – часть круга, расположенная в первой четверти. Тогда

и получим по определению

Отсюда получаем значение интеграла Пуассона

Примеры.

1.

2.

3.

Во внутреннем интеграле сделаем замену , тогда и . Получим для нашего интеграла

Задача. Вычислить двойной интеграл от функции по неограниченной области, заключенной между линиями и .