§3. Вычисление кратных интегралов

Теорема (без доказательства). Кратный интеграл от непрерывной функции по правильной области равен соответствующему повторному интегралу.

Например, если – непрерывна, а правильная область имеет вид, то

и вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определённых интегралов.

В силу этой теоремы используют несколько другие обозначения кратных интегралов: заменяют на, а– на.

Пример. Найти массу круглой пластины радиуса , если поверхностная плотность в каждой её точке пропорциональна расстоянию от этой точки до некоторой касательной к окружности.

Решение. Прежде всего, впишем данный круг в систему координат следующим образом: центр поместим в начале координат, а фиксированную касательную будем считать проходящей через точку с координатами(параллельно оси ординат!). Тогда:

и

Искомая масса:

Здесь первый интеграл равен площади полукруга, ибо – уравнение верхней полуокружности, а второй равен нулю, т.к. подынтегральная функция нечётная, а промежуток интегрирования симметричен относительно нуля.

Окончательно имеем:

Полученный ответ нетрудно проверить хотя бы на размерность. Коэффициент пропорциональности в формуле для поверхностной плотности имеет размерность , следовательно, полученный результат имеет размерность .

Обычно для определения этого коэффициента задают плотность в какой- либо точке области. В рассмотренной задаче может быть дополнительное условие, например, такое: “Плотность в центре круга равна ”.

Тогда

и ответ будет иметь вид: . Размерность ответа в таком виде очевидна.

§4. Замена переменных в двойном интеграле

I Общий случай

Пусть имеются две прямоугольные системы координат и, и пара функций

(1)

которые устанавливают взаимно-однозначное соответствие между точками замкнутых областей и . Предположим, что эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка и определитель вида

Ј

отличен от 0 в . Этот определитель называют определителем Якоби или якобианом системы функций (1).

При выполнении этих условий для двойного интеграла от непрерывной функции справедлива следующая формула замены переменных:

(2) Принимаем эту формулу без доказательства.

Пример 1. Пусть требуется вычислить двойной интеграл по области, ограниченной прямыми: причем

Хотя и область правильная (это некоторый четырёхугольник), но её границы (правая и левая, или верхняя и нижняя) состоят из частей, задаваемых разными функциями. Поэтому при сведении двойного интеграла к повторному интегралу необходимо разбить область на три части и затем вычислять три интеграла.

Перепишем уравнения и в виде и , и сделаем следующую замену переменных

(3)

Очевидны пределы изменения новых переменных:

,т.е. в новой системе координат область будет представлять собой прямо-угольник, стороны которого параллельны осям координат. Разрешив систему (3) относительно и , получим

Якобиан этой системы функций (вычислите самостоятельно) имеет вид

Итак, получим для двойного интеграла

Например, для единичной функции получим:

Сделаем важное замечание относительно полученного повторного интеграла. Он является повторным лишь формально. На самом же деле внутренний интеграл не зависит от внешней переменной , и его, как обычную константу, можно вынести за знак внешнего интеграла: такой повторный интеграл является просто произведением двух определённых.

Имеем окончательно:

Замечание. Взаимная однозначность системы (1) и условие могут нарушаться в отдельных точках областии даже на отдельных линиях, площадь которых равна нулю.