- •§1. Несобственные интегралы 1-го рода
- •I Определение
- •II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода
- •II Интегралы от знакопеременных функций
- •§3. Несобственные интегралы 2го рода
- •I Одно свойство определенного интеграла
- •II Определения
- •III Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла 2-го рода
- •§4. Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода
- •§5. Замечания к теме
- •I Об интегралах смешанного типа
- •II о замене переменной в несобственных интегралах
- •§6. Гамма-функция Эйлера
–
Тема НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В теме «Определенный интеграл» было рассмотрено понятие определенного интеграла для случая конечного промежуткаи ограниченной функции(см. теорему 1 из §3). Теперь займемся обобщением этого понятия для случаев бесконечного промежутка и неограниченной функции. Необходимость такого обобщения показывают, например, такие ситуации.
1. Если, используя формулу для длины дуги, попытаться вычислить длину четверти окружности ,, то придем к интегралу от неограниченной функции:
, где .
2. Пусть тело массой движется по инерции в среде с силой сопротивления , где— скорость тела. Используя второй закон Ньютона (, гдеускорение), получим уравнение:, где. Нетрудно показать, что решением этого (дифференциального!) уравнения является функция Если нам потребуется вычислить путь, пройденный телом до полной остановки, т.е. до момента, когда , то придем к интегралу по бесконечному промежутку:
§1. Несобственные интегралы 1-го рода
I Определение
Пусть функция определена и непрерывна на промежутке. Тогда для любогоона интегрируема на промежутке, то есть существует интеграл.
Определение 1. Конечный или бесконечный предел этого интеграла при называют несобственным интегралом 1-го рода от функциипо промежуткуи обозначают символом. При этом, если указанный предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае (или не существует ) – расходящимся.
Итак, по определению
(1) |
Примеры
1..
2..
3.– не существует.
Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.
II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода
Пусть — некоторая первообразная для функции(сущест-вует на, т.к.— непрерывна). Тогда
Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла (1) равносильна существованию конечного предела. Если этот предел обозначить, то можно написать для интеграла (1) формулу Ньютона-Лейбница:
, где .
Примеры.
4. .
5. .
6. Более сложный пример: . Сначала найдем первообразную:
Теперь можем найти интеграл , учитывая, что :
.
III Свойства
Приведем ряд свойств несобственного интеграла (1), которые вытекают из общих свойств пределов и определенного интеграла:
интегралы исходятся или расходятся одновременно;
если , то интегралыисходятся или рас-ходятся одновременно;
если интеграл сходится, то.
IV Другие определения
Определение 2. Если непрерывна на , то
.
Определение 3. Если непрерывна на, то принимают по определению
(– произвольное),
причем несобственный интеграл в левой части сходится, если только оба ин-теграла в правой части сходятся.
Для этих интегралов, как и для интеграла (1) можно написать соответствующие формулы Ньютона – Лейбница.
Пример 7.
§2. Признаки сходимости несобственного интеграла 1-го рода
Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому используют приближенное равенство
(для больших ).
Однако, это соотношение имеет смысл лишь для сходящихся интегралов. Необходимо иметь методы выяснения поведения интеграла минуя определение.
I Интегралы от положительных функций
Пусть на . Тогда определенный интеграл как функция верхнего предела есть функция возрастаю-щая (это следует из общих свойств определенного интеграла).
Теорема 1. Несобственный интеграл 1го рода от неотрицательной функ-ции сходится тогда и только тогда, когда функция остается ограниченной при увеличении.
Эта теорема – следствие общих свойств монотонных функций. Практического смысла теорема почти не имеет, но позволяет получить т.н. признаки сходимости.
Теорема 2 (1-й признак сравнения). Пусть функции инепре-рывны наи удовлетворяют неравенству. Тогда:
1) если интеграл сходится, то исходится;
2) если интеграл расходится, то ирасходится.
Доказательство. Обозначим: и. Так как, то. Пусть интегралсходится, тогда (в силу теоремы 1) функция‒ ограничена. Но тогда иограничена, а значит, интегралтоже сходится. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы.
Этот признак не применим в случае расходимости интеграла от или сходимости интеграла от. Этот недостаток отсутствует у 2-го признака сравнения.
Теорема 3 (2-й признак сравнения). Пусть функции инепрерывны и неотрицательны на. Тогда, еслипри, то несобственные интегралыисходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений:
, ,
.
Пусть, например, . Тогда:
.
Применим теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим утверждение теоремы 3.
В качестве эталонной функции, с которой сравнивают данную, высту-пает степенная функция ,. Предлагаем студентам самим доказать, что интеграл
сходится при и расходится при.
Примеры. 1. .
Рассмотрим подынтегральную функцию на промежутке :
, .
Интеграл сходится, ибо. По 2-му признаку сравнения сходится и интеграл, а в силу свойства 2) из §1 сходится и исход-ный интеграл.
2..
Так как , тоcуществует такое, что при. Для таких значений переменной:
.
Известно, что логарифмическая функция растет медленнее степенной, т.е.
,
а значит, начиная с некоторого значения переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому
.
Интеграл сходится как эталонный. В силу 1-го признака сравнения сходится и. Применяя 2-й признак, получим, что и интегралсходится. И снова свойство 2) из §1 доказывает сходимость исходного интеграла.