V Вычисление моментов инерции пластины

Известно из механики, что момент инерции материальной точки относительно оси(или точкиО) равен произведению массы точки на квадрат расстояния от до(или доО). Кроме того, момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции этих точек.

Пусть теперь в области имеем распределение массы с поверхностной плотностью. Чтобы найти момент инерцииотносительно, например, оси, как и в предыдущем пункте, разобьёмна части, выберем в каждой частиточкуи сосредоточим всю массув этой точке. Получим систему материальных точек, и момент инерции этой системы даст приближённое значение для искомого момента инерцииобласти:

Точное значение получим в виде интеграла:

Аналогично для момента инерции относительно оси :

Нетрудно догадаться, что момент инерции областиотносительно начала координат можно найти по формуле

Пример 6. Найти момент инерции однородного круга радиуса отно-сительно фиксированного диаметра.

Решение. Пусть центр круга – в начале координат, а фиксированный диаметр лежит на оси . Однородность означает, что.

Искомый момент инерции:

VI Вычисление площади поверхности

Прежде всего, требуется определить само понятие площади поверхности. В своё время математики показали, что невозможно определить это понятие путём вписывания и описывания многогранных поверхностей (так это было сделано при определении площади плоской фигуры и объёма тела). Был предположен другой подход.

Будем обозначать поверхность символом , а её площадь –. Такую же систему обозначений примем и для части поверхностии для плоских фигур.

Разобьём начастейи в каждой из них выберем точкуЧерез выбранную точку проведем касательную плоскость к поверхности и спроектируемна эту плоскость. Обозначимполученную проекцию и её площадь. Пусть, кроме того,.

Определение. Конечный предел вида

называют площадью поверхности .

Можно показать, что если поверхность не имеет особых точек (т.е. в каждой её точке можно провести касательную плоскость), то данный предел существует и не зависит от разбиенияна частии от выбора точек.

Напомним, что, если поверхность задана явным уравнением, причемисуществуют в точке, то существует и касательная плоскость в точке, и её нормальный вектор имеет вид. Заметим, что этот вектор образует острый угол с осью

Теорема. Пусть поверхность задана уравнением,причем частные производныеинепрерывны в. Тогда площадь данной поверхности можно вычислить по формуле

Идея доказательства. Разобьём область (проекциюна плоскость) начастейи через их границы проведем цилиндрические поверхности с образующими параллельными оси. Тогда и поверхностьразобьётся начастей. В каждой такой части выберем точку, проведем касательную плоскостьс нормальным век- тором. Данный вектор составляет с осьюуголтакой, что.Тот же самый уголсоставляет касательная плоскостьс координатной плоскостью

Пусть и. Можно показать, чтопри. Это означает,

что

.

Отсюда

.

Но тогда сумма — это интегральная сумма, которая в пределе и даёт интеграл из формулировки теоремы.

Пример 7. Найти площадь части поверхности , распо-

ложенную внутри цилиндра

Решение. Очевидно, проекцией части конуса, расположенной в цилиндре, есть “основание“ цилиндра – круг радиуса с центром. Предварительные вычисления:

Имеем для :

Задачи (для самостоятельного решения)

1. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

и .

2. Найти положение центра масс однородного полукольца .

3. Поверхностная плотность в каждой точке кругапропор-циональна расстоянию отдо некоторого фиксированного диаметра. Найти момент инерции круга относительно конца этого диаметра.

4. Найти площадь части сферы , расположенной внутри цилиндра.