– 134–

Тема кратные интегралы

§1. Определения. Свойства. Смысл

Для ограниченной замкнутой области в(плоскость) или в

(пространство) введём понятие диаметра области:

где – расстояние между точками .

I Определение

Двойной и тройной интегралы определяются, вообще говоря, одинаково. Попытаемся дать одно определение для этих интегралов.

Пусть в области или задана функция для или для Выполним стандартную, при построении интегралов, процедуру.

1^й_Шаг. Разобьём область произвольным образом на частей (без общих внутренних точек) и обозначим . Кроме того, пусть площадь – для ,объём – для .

2^й_Шаг. В каждой из частичных областей выберем точку (в , в).

3^й_Шаг. Вычислим значение функции в каждой из выбранных точек и составим т.н. интегральную сумму:

Определение. Если при существует конечный предел интегральных сумм, не зависящий ни от разбиения области на части, ни от выбора точек , то:

1) в случае этот предел обозначают символоми называют двойным интегралом от функции по области ;

2) в случае этот предел обозначают символоми называют тройным интегралом от функции по области .

В обоих случаях функцию называют интегрируемой в области . Двойные и тройные интегралы называют кратными.

II Теорема существования

Примем без доказательств следующую теорему.

Теорема. Всякая функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, интегрируема в этой области (для область предполагается квадрируемой, для– кубируемой).

III Свойства

Свойства кратных интегралов – обычные для всех интегралов. Приведём лишь основные.

1. Интеграл от единичной функции:

1.1

1.2

2. Линейность: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

3. Аддитивность: интеграл по всей области равен сумме интегралов по её частям, не имеющих общих внутренних точек.

4. Теорема о среднем значении: интеграл от непрерывной функции по области равен значению функции в некоторой точке области, умноженному на площадь области (для двойного интеграла) или объём области (для тройного интеграла).

Замечание-определение. Числа, определяемые равенствами

,

называют средним значением функции по области . Здесь и далее площадь области, объём области.

IV Смысл

Сначала рассмотрим двойной интеграл по области и предположим, что враспределено некоторое вещество. Мы будем говорить о распределении массы, хотя все рассуждения сохраняются и для распределения электрического заряда, количества тепла и т.п.

Основной характеристикой распределения массы в плоской области является поверхностная плотность, т.е. масса, приходящаяся на единицу площади. Если распределение равномерное (фигуру называют при этом однородной), то эту плотность можно определить как отношение массы любой частик площадиэтой части:

(1)

В случае неравномерного распределения формула (1) даёт среднюю поверхностную плотность в области .

Пусть теперь область уменьшается, стягиваясь к точке. Предел средней плотности

(2)

(вычисляется при условии, что и ) очевидно является функцией точки. Он обозначается или и называется поверхностной плотностью в точке.

Предположим, что плотность известна. Тогда в интегральной сумме для этой функции

каждое слагаемое приблизительно равно – массе, распределённой в , а вся сумма даёт приближенное значение массы, распределённой в области Чтобы увеличить точность этого приближённого равенства, надо устремить к 0 диаметры всех частей Но тогда получим

Для распределения вещества в пространственной области плотность в точке вводится аналогично, только в формулах (1) и (2) площадь надо заменить объёмом .И смысл тройного интеграла тот же:

масса, распределённая в области .

Двойной интеграл, кроме механического смысла, рассмотренного выше, имеет ещё и геометрический смысл.

Пусть требуется вычислить объём тела, ограниченного поверхностью , плоскостью и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющая –это некоторая замкнутая линия в плоскости Эта линия ограничивает некоторую область– «основание» тела. Разобьём эту область на частей и построим цилиндрические поверхности, направляющими которых служат границы областей а образующие параллельны оси . Тело разобьётся на «столбиков», каждый из которых можно приближённо считать цилиндром с основанием и высотой, равной значению функции в некоторой точке Суммарный объём этих цилиндров

даёт приближенное значение искомого объёма тела. Точное значение объёма получим, переходя к пределу при :

объём т.н. цилиндрического тела, основанием которого служит область , а «крыша» задаётся неотрицательной функцией .