Рабочий стол / Alaev_A_N (1) / Алаев А.Н / DIGITAL_Konsp

51

которых набор выходных сигналов зависит не только от входного набора, но и от предшествующего по времени внутреннего состояния автомата и набора выходных сигналов.

В общем случае, модель цифрового автомата (рис.2) представляет собой многополюсный черный ящик с n входами и m выходами. Состояние автомата определяется состояниями сигналов на его входах и выходах. Совокупность входных и выходных переменных Х и Y образуют входное и выходное слово автомата, соответственно.

Рис.2 Схема представления цифрового автомата в виде многополюсника Различные значения входных переменных образуют алфавит (т.к.

алфавит входных и выходных переменных един, в дальнейшем будет рассматриваться только один алфавит). В цифровой технике алфавит входного (выходного) слова содержит два значения (две буквы) "1" и "0". Каждое слово - набор переменных на входе или на выходе автомата, отличается от другого слова хотя бы одной буквой. Каждая буква слова поставлена в соответствие с номером входа (выхода). Зависимость

выходных переменных Y m ,…,Y 2 , Y 1 выраженная через совокупность

Если часть значений функции не задана, она называется частично определенной.

Для описания логических функций используются различные способы:

53

6. Графическое описание, при этом цифровое устройство представляется в виде схемы электрической принципиальной, выполненной с использованием условных графических изображений. В частности для изображения элементов, выполняющих операции И, ИЛИ и НЕ (конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание), приняты следующие графические изображения:

Рис. 3 Пример графических изображений логических элементов Один из вариантов схемы, реализующей (14), приведен на рисунке 4:

Рис. 4 Пример схемы, реализующей логическую функцию. Алгебра логики позволяет создавать сложные функции, аргументы которых есть функции других двоичных аргументов. При этом возникает задача упрощения функций с целью обеспечения простоты схемной реализации. Операция замены аргумента одной функции другими, более простыми носит название суперпозиции функции. Многократное использование суперпозиции позволяет упрощать выражения для функций.

является элементарной дизъюнкцией переменных X 1 , X 2 ,Х3 .

Количество переменных в элементарной конъюнкции (дизъюнкции) называется ее длиной и определяет ее ранг. Так выше приведены элементарные конъюнкции и дизъюнкции третьего ранга.

Минтермом называют функцию, которая принимает единичное значение при одном из всех возможных наборов аргументов, а макстермом называют функцию, которая принимает нулевое значение при одном из всех возможных наборов аргументов. Если число аргументов n, то число минтермов и макстермов N=2 n .

Дизъюнкция любого числа элементарных конъюнкций называется

дизъюнктивной нормальной формой ДНФ. Например:

X1 * X 2 * X 3 + X 1 *X 2 * X 3 + X 1 .

Конъюнкция любого числа элементарных дизъюнкций называется

конъюнктивной нормальной формой КНФ. Например: ( X 1 +X 2 + Х3 )*( X 1 + X 2 + Х3 )* X 1 .

Нормальные формы логических функций принято называть каноническими. Любую логическую функцию можно, используя законы алгебры логики привести к каноническому виду. Для этого необходимо:

- избавиться от инверсий над выражениями, перейдя к форме, в которой есть инверсии только отдельных переменных; - применяя закон дистрибутивности раскрыть скобки и привести конъюнкции (дизъюнкции) к элементарным.

55

Если в состав логической формулы входят наборы одинакового ранга, связанные конъюнкцией (дизъюнкцией), то такая форма представления логической функции носит название совершенной дизъюнктивной

(конъюнктивной) нормальной формы СДНФ (СКНФ). Пример приведен в таблице 2.2.

Выражения, где определены минтермы носят название конституент единицы, а там, где определены макстермы - конституент нуля. Искомая логическая функция СДНФ (СКНФ) получается дизъюнкцией минтермов (конъюнкцией макстермов). СКНФ используется при синтезе реже.

Произведения, входящие в СДНФ носят название импликант. По определению, импликантой называется логическая функция f ( X1 , X 2 ...X n ) ,

входящая в Y ( X1, X 2 ,...X n ) , если для любого набора X1, X 2 ,...X n , при

котором f ( X1 , X 2 ...X n ) =1, Y ( X1, X 2 ,...X n ) также равно единице. Импликанта называется простой, если она не может быть поглощена другими импликантами, входящими в данную функцию.

По полученным СДНФ (СКНФ) реализуются принципиальные логические схемы. СДНФ(СКНФ) не являются самыми простыми формами представления логических функций.

В общем случае переход от табличного представления к алгебраическому осуществляется по формуле:

i=0

являющейся одной из основных в алгебре логики.

В (17) mi - минтермы переменных X1 , X 2 ...X n , fi - принимает значение лог. «1», если для данного набора mi , Y ( X1 , X 2 ,...X n ) равна лог. «1» и fi - принимает значение лог. «0», если для данного набора mi ,

Y ( X1 , X 2 ,...X n ) равна лог. «0».

56

Существуют и другие методы задания и оптимизации логических функций, например, ранее при числе переменных не более шести применялся метод диаграмм Карно-Вейча. Карты Карно – это графическое представление таблиц истинности.

Каждой комбинации переменных в соответствие ставится одна клетка карты. Таким образом, число клеток в карте при числе переменных n равно

2 n .

Правила построения карты Карно следующие:

1)Слева и сверху располагаются значения аргументов. Порядок размещения аргументов таков, что в двух соседних столбцах или строках отличается значение только одного аргумента. При этом соседними считаются столбцы и строки, находящиеся на противоположных краях таблицы.

57

2)В ячейки заносятся соответствующие значения логической функции.

3)Соседние единичные ячейки объединяются в прямоугольники по 2 i ячеек.

4)Для каждого прямоугольника записывают произведение тех аргументов, которые в соседних клетках не изменяют своего значения.

5)Переменные входят в произведения в прямом виде, если их значение в соседних клетках равно «1», в противном случае в инверсном.

6)От полученных значений образуется дизъюнкция.

Рассмотрим пример построения карты Карно для таблицы истинности

2.1.

Рис. 5 Пример реализации карты Карно. Имеется три прямоугольника:

1.X 2 * X 3 , здесь X1 меняет свое значение,

2.X1 * X 3 , здесь X 2 меняет свое значение,

3. X1 * X 2 , здесь Х3 меняет свое значение,

функцию. Выражение (18) состоит из «не склеивающихся» конъюнкций переменных, т. е. простых импликант.

2.3. Синтез комбинационных схем с несколькими выходами

58

На практике комбинационные схемы с одним выходом встречаются относительно редко. Обычно схемы имеют несколько выходов, причем значения сигналов на этих выходах зависят от одних и тех же входных сигналов. Работа схемы, имеющей n и k входов описывается совокупностью k:

F1 = f1 (x1 , x2 ...xn ) F2 = f2 (x1 , x2 ...xn )

.....

Fk = fk (x1 , x2 ...xn )

каждая из которых определяет закон функционирования схемы по одному выходу. Если провести минимизацию логических функций, независимо друг от друга, то схема, реализующая эту систему уравнений будет содержать k изолированных фрагмента. Но в общем случае схему можно упростить за счет объединения отдельных участков в разных фрагментах, выполняющих одинаковые функции. Например, для реализации двух логических функций:

f1 = x1 x3 + x1 x2

f2 = x1 x2 x3 + x1 x2

потребует применения четырех логических элемента (ЛЭ) И и двух ИЛИ. Если же первую функцию представить в виде

f1 = x1 x2 x3 + x1 x2 ,

то отказавшись от минимального представления, но не изменяя значения функции, можно упростить реализацию, поскольку первый член является общим для обеих функций. В этом случае потребуется два элемента И и два элемента ИЛИ.

Общая идея минимизация схем со многими выходами сводится к получению таких выражений для совокупности функций, в которых оптимально используются члены, общие для нескольких функций. Рассмотрим метод минимизации системы лог. функций методом меток. Этот метод предусматривает выполнение следующих этапов:

59

-нахождение простых импликант системы лог. функций;

-определение простых импликант для минимального представления системы лог. функций;

-запись каждой лог. функции в ДНФ.

Простые импликанты системы логических функций представляют собой совокупность простых импликант всех сочетаний лог. произведений исходных функций, включая и функции системы, например для синтеза трех выходов необходимо найти:

F1 , F2 , F3 , F1 F2 , F1 F3 , F2 F3 , F1 F2 F3 .

Т. о. сначала находят все простые импликанты от F1,F2 ,F3 , затем из этих функций образуют все возможные подсистемы, состоящие из двух функций F1 F2 , F1 F3 ,F2 F3 . Для каждой подсистемы находят все простые импликантты. Затем образуют подсистему, состоящую из трех лог. функций и для нее находят все простые импликанты.

Описанные действия легче всего выполнять с помощью карт Карно. Получение лог. произведений осуществляется путем совмещения карт для отдельных функций и нахождения лог. произведения для каждой клетки .

На втором этапе минимизации из полученных простых импликант путем перебора отыскивают наиболее простые формулы для представления системы функций. Отыскание таких формул удобно производить с помощью импликантной матрицы для системы функций. По импликантной матрице выбирают совокупность простых импликант, которая поглощает все конституенты системы лог. функций. Из всех полных систем ипликант выбирают ту, которая содержит наименьшее число сочетаний (минимальную полную совокупность).

Рассмотрим пример. Пусть даны три функции, каждая из которых зависит от четырех переменных:

60

F1 ( X1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = ∑(0,2,4,6,10,12,14)

F2 ( X1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = ∑(2,3,10) ,

F3 ( X1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = ∑(0,1,2,3,9,11)

здесь X 4 →20...X1 →23

В виде карт Карно эта система будет выглядеть следующим образом:

Рис. 6 Карты Карно для системы функций Найдем все простые импликанты для этих функций, т. е. СДНФ:

Затем необходимо найти путем совмещения карт СДНФ логических произведений всех сочетаний функций:

F1 , F2 , F3 , F1 F2 , F1 F3 , F2 F3 , F1 F2 F3 .