1.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Литература: [1], гл. I, §§ 1.17, 1.18
[3], гл. XIII, §§ 23, 24
[5], Ч. 2, гл. 11, §§ 11.7, 11.8
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид
,
где
,
.
Общее решение
линейного неоднородного уравнения, как
известно, записывается в виде
.
Нахождение общего решения
соответствующего однородного уравнения
рассмотрено в п. 1.8.
Частное решение
линейного неоднородного уравнения в
случае, когдаправая
часть f
(x)
является
функцией специального вида,
находят методом
неопределенных коэффициентов.
Возможны два случая:
1) правая часть
уравнения
имеет
специальный вид
,
где
− многочленn-ой
степени, α
− показатель экспоненты в правой части
уравнения.
Частное решение
в этом случае ищем в виде
,
где
− многочленn-ой
степени с неопределенными коэффициентами,
− число корней характеристического
уравнения, равныхα.
Если
а) показатель
экспоненты α
не совпадает ни с одним из корней
характеристического уравнения (
и
),
то
и
;
б) число α
совпадает с одним из корней
характеристического уравнения, но не
совпадает с другим (
или
),
то
и
;
в) число α
совпадает с двукратным корнем
характеристического уравнения (
),
то
и
.
Чтобы неопределенные
коэффициенты
многочлена
необходимо
подставить
выражение
для
в исходное
уравнение
и, после сокращения на
,
приравнять коэффициенты при одинаковых
степенях переменной x
в обеих частях равенства.
2) правая часть
уравнения
имеет
специальный вид
,
где M
и N,
вообще говоря, некоторые многочлены,
но в дальнейшем рассматриваются только
многочлены нулевой степени, т.е. M
и N
− постоянные числа.
Частное решение
в этом случае ищем в виде
,
где
− число пар корней характеристического
уравнения, равных
,
и
− неопределенные коэффициенты.
Если
а) числа
не совпадают с корнями характеристического
уравнения (
),
то
и
;
б) числа
совпадает с корнями характеристического
уравнения (
),
то
и
.
Неизвестные
постоянные A
и B
определяются после подстановки
в исходное дифференциальное уравнение
из условия равенства коэффициентов при
и
в обеих частях уравнения.
Пример 1.
Решить уравнение
.
Решение. Это
линейное неоднородное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами и правой частью
специального вида. Его общее решение
.
Сначала находим
общее решение соответствующего
однородного уравнения
.
Для этого составляем характеристическое
уравнение
.
Его корни
,
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения
.
Так как в правой
части уравнения имеем многочлен второй
степени, то при записи частного решения
также берем многочлен второй степени,
число
не совпадает ни с одним из корней
характеристического уравнения, и потому
.
Найдя производные
и
и подставив их в исходное дифференциальное
уравнение, после сокращения на
получим
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях этого равенства, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов:
при x2
,
при x
,
при x0
,
откуда
,
,
.
Следовательно,
частное решение неоднородного
дифференциального уравнения имеет вид:
.
Общее решение этого уравнения:
.
Пример 2.
Решить уравнение
.
Решение. Это
линейное неоднородное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами и правой частью
специального вида. Его общее решение
.
Сначала находим
общее решение соответствующего
однородного уравнения
.
Для этого составляем характеристическое
уравнение
.
Его корни комплексные
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения:
.
В правой части
уравнения
,
,
числа
совпадают с корнями характеристического
уравнения. Поэтому частного решения
неоднородного уравнения ищем в виде:
.
Найдя производные
и
и подставив их в исходное дифференциальное
уравнение, получим
.
Приравнивая коэффициенты при
и при
в обеих частях этого равенства, получим
,
.
Следовательно, частное решение
неоднородного уравнения имеет вид
.
Общее решение этого уравнения:
.
Если правая часть
линейного неоднородного уравнения
представляет сумму двух слагаемых, т.е.
а
и
− частные решения этого уравнения с
правой частью равной соответственно
и
,
то их сумма
является частным решением данного
уравнения.
Пример 3.
Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее условиям
Решение. Сначала
найдем общее решение неоднородного
уравнения с правой частью, представляющей
сумму двух функций
и
.
Значит общее решение неоднородного
уравнения
.
Характеристическое уравнение
или
имеет двукратный действительный корень
,
поэтому общее решение однородного
уравнения
.
Найдем теперь
частное решение для правой части
.
Так как корень характеристического
уравнения действительный, то частное
решение
имеет вид
.
Тогда
и
.
После подстановки
,
и
в неоднородное уравнение
получаем
.
Приравниваем коэффициенты при
в левой и правой частях уравнения:
,
откуда
Аналогично, после приравнивания
коэффициентов при
,
получаем
.
Значит,
.
Для второй правой
части
с
учетом того, что показатель экспоненты
в правой части неоднородного уравнения
совпадает с двукратным корнем
характеристического уравнения, частное
решение имеет вид
.
Тогда
и
.
После подстановки
,
и
в неоднородное уравнение
получаем
.
Откуда
и
.
Значит, общее
решение неоднородного дифференциального
уравнения
.
Для решения задачи
Коши найдем производную
.
.
Решаем задачу
Коши: при
имеем
и
.
Подставив эти значения в
и
,
получим
,
.
Откуда
,
.
Следовательно, решение уравнения,
удовлетворяющее заданным начальным
условиям, имеет вид:
.
В случае, когда
правая часть
f
(x)
не является
функцией специального вида,
для нахождения частного решения
линейного неоднородного уравнения и,
следовательно, его общего решения
применяютметод
вариации произвольных постоянных
(метод Лагранжа).
Рассмотрим его для уравнения второго порядка
.
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде
,
где
,
─ линейно независимые решения
соответствующего однородного уравнения;
и
─ неизвестные функции, производные от
которых находят из системы
Проинтегрировав
найденные решения системы, определяем
функции
,
и строим общее решение неоднородного
дифференциального уравнения.
Пример 4.
Решить уравнение
.
Решение. Данное
уравнение ─ линейное неоднородное
второго порядка. Решаем его методом
вариации. Для этого вначале решим
соответствующее однородное уравнение
.
Его характеристическое уравнение
имеет корни
и
.
Им соответствует два частных решения
однородного дифференциального уравнения
и
.
Общее решение неоднородного уравнения
ищем в виде
.
Для нахождения
неизвестных функций
и
составляем систему
или
Решив систему,
найдем
и
.
Проинтегрируем каждое из этих выражений. Получим
,
.
Здесь
и
─ постоянные интегрирования.
Теперь можно записать общее решение неоднородного уравнения
.