Рекомендуемая литература

Учебники

1. Бугров Я.С., Никольский. С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1989. – 464 с.

2. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. – К.: Либідь, 1996. – 440 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2-х томах. Т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2003. – 529 с.

4. Улітін Г.М., Гончаров А.М. Курс лекцій з вищої математики: Навчальний посібник. Ч. І-ІІ.–Донецьк: ДонНТУ, 2009. –219с.

Руководства к решению задач

5. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И.Курс классической математики в примерах и задачах: Учебное пособие. В 3-х частях.– Донецк: ДонНТУ, 2005. − Ч.2. − 467 с; 2007. − Ч.3. − 396 с.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х частях. Ч.2. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.1. Основные понятия

Литература: [1], гл. I, § 1.2

[3], гл. XIII, § 2

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее производные ,,…,, т.е. уравнение вида.

Решением дифференциального уравнения является такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.

Порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в это уравнение. Например, уравнение является уравнением первого порядка, а уравнениеесть уравнение третьего порядка.

График функции, являющейся решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой.

1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение. Начальные условия. Задача Коши

Литература: [1], гл. I, § 1.3

[3], гл. XIII, § 3

[5], Ч. 2, гл. 11, § 11.1

Общий вид дифференциального уравнением первого порядка . Если это уравнение разрешить относительно производной, то получим уравнение вида.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = φ (x, С), которая при любом значении произвольной постоянной С является решением данного уравнения. Соотношение , содержащее искомую функцию в неявном виде, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Решение, полученное из общего решения при определенном значении постоянной С, называется частным решением дифференциального уравнения. Решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего решения ни при каких значениях постоянной С, называются особыми решениями.

Общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения геометрически можно истолковать как совокупность (семейство) интегральных кривых на плоскости Oxy.

Часто среди множества решений дифференциального уравнения требуется найти такое решение, которое при заданном значении независимой переменной x = x₀ принимает заданное значение y = y₀. Такие условия называются начальными условиями и записываются в виде y (x₀) = y₀. Геометрически это означает, что из семейства интегральных кривых, определяемых общим решением (общим интегралом) дифференциального уравнения требуется выделить интегральную кривую, проходящую через заданную точку М₀ (x₀, y₀).

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Следует отметить, что нет общего метода решения дифференциальных уравнений. Поэтому нужно уметь различать типы дифференциальных уравнений и знать способы их решения. Для уравнений первого порядка это, прежде всего, уравнения с разделенными и разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения и уравнения Бернулли.