2.2 Необходимый признак сходимости рядов

Применение рядов в любой прикладной задаче предполагает исследование этого ряда на сходимости. Решение этого вопроса начинается с применения необходимого признака сходимости ряда, сформулированного в теореме: если данный ряд сходится, то предел общего члена ряда при неограниченном возрастании номераn равен нулю, т. е. .

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из равенства нулю предела общего члена при n→∞ еще не следует сходимость этого ряда. Справедливость этого положения видна на примере гармонического ряда . Для него выполняется необходимый признак сходимости, однако гармонический ряд расходится.

Непосредственно из теоремы вытекает достаточной признак расходимости ряда: если предел общего члена числового ряда при неограниченном увеличении n не равен нулю, то данный ряд расходится.

С помощью этого признака иногда легко установить расходимость ряда. Примеры таких рядов приведены ниже.

Пример 1. Дан ряд: Исследовать его на сходимость.

Решение. Общий член ряда . Предел его приn→∞ не существует. Ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как , то ряд расходится.

2.3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Литература: [5], Ч. 3, гл. 15, §§ 15.2, 15.3

Ряд , у которого все члены ─ положительные числа, называется положительным рядом. Рассматрим некоторые достаточные признаки сходимости и расходимости положительных рядов, наиболее часто применяемые на практике.

2.3.1. Признак сравнения

Пусть ряды иположительные, а члены первого ряда, начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов второго ряда, т.е.. Тогда, если сходится рядс большими членами, то сходится и рядс меньшими членами. Если же рядс меньшими членами расходится, то расходится и рядс большими членами.

Для сравнения с исследуемыми рядами часто применяются следующие ряды:

1) ряд геометрической прогрессии , который сходится прии расходится при;

2) гармонический ряд , который расходится;

3) обобщённый гармонический ряд , который сходится прии расходится при.

Пример 1. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Данный ряд сравним с расходящимся гармоническим рядом. Между членами этих рядов очевидно соотношение . Так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Возьмём сходящийся ряд убывающей геометрической прогрессии . Очевидно, что. Поэтому согласно теореме сравнения из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Возьмём ряд … Очевидно, что все члены этого ряда, начиная с третьего удовлетворяют условию. Так как рядсходится (как ряд убывающей геометрической прогрессии), то данный ряд также сходится.

2.3.2. Предельный признак сравнения

Этот признак применяется на практике гораздо чаще, чем рассмотренный выше признак сравнения и формулируется следующим образом: если существует конечный отличный от нуля предел отношения общих членов положительных рядов при n→∞ (), то эти ряды ведут себя одинаково в смысле сходимости (т.е. либо оба сходятся, либо оба расходятся).

Если , то из сходимости рядаследует сходимость ряда(обратное неверно). Если, то из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Предельный признак сравнения положительных рядов особенно удобно применять, когда общий член ряда представляет собой дробно-рациональную функцию от n.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравнение с гармоническим рядом по обычному признаку сравнения вопрос о сходимости не решает, так как при, но ввиду расходимости рядачто-либо сказать о ряденевозможно.

Воспользуемся предельным признаком сравнения.

.

Здесь для раскрытия неопределённости при вычислении предела применено правило Лопиталя.

Так как предел конечен и не равен нулю, то исследуемый ряд ведёт себя так же, как и ряд, т.е. расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с рядом , который, как известно, сходится (как обобщённый гармонический ряд при).

.

Исследуемый ряд так же сходится.

Замечание. Если, как в примере 2, общий член ряда представляет собой дробно-рациональную функцию относительно отn, то общий член ряда для сравнения удобно брать в виде , гдеm − разность между степенями многочленов знаменателя и числителя .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим .

.

Отсюда, так как предел конечен, то исследуемый ряд ведёт себя так же, как и гармонический, т.е. расходится.