1.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Литература: [1], гл. I, § 1.3

[3], гл. XIII, § 4

[5], Ч. 2, гл. 11, § 11.1

Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения первого порядка вида , т.е. производнаяв них представлена в виде произведения двух функций, одна из которыхf₁ (x) есть функция только одной переменной x, а вторая f₂ (y) ─ только одной переменной y. Эти уравнения решаются (интегрируются) методом разделения переменных. Для этого производную функции представляют как отношение дифференциалов , т.е. получают уравнение в виде, обе части которого затем умножают наdx и делят на f₂ (y) ≠ 0. В результате получается уравнение с разделенными переменными , которое можно проинтегрировать:. ЗдесьC ─ постоянная интегрирования (произвольная постоянная).

Иногда уравнение с разделяющимися переменными задают в дифференциалах . Разделение переменных достигается делением этого уравнения на. В результате имеем уравнение, в котором приdx стоит функция, зависящая только от x, а при dy ─ только от y, интегрируя которое получаем .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде . Разделим обе части уравнения наПолучим. Интегрируя, имеем, откуда. Это общее решение дифференциального уравнения. Пусть теперьЭто возможно, еслиy = 0 или x + 1 = 0. Непосредственной подстановкой в исходное дифференциальное уравнение убеждаемся, что функции y = 0 и x = −1 являются решениями этого уравнения. Решение y = 0 является частным решением, так как оно может быть получено из общего решения при C = 0. Решение является особым, так как его нельзя получить из общего решения ни при каких фиксированных значениях постояннойC.

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию.

Решение. Сначала найдем общее решение уравнения. Разрешая уравнение относительно производной, получаем . Теперь видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Умножив обе его части наи разделив на, получаем. После интегрирования имеем, откуда получаем общее решение уравнения. Убеждаемся, что функцияy = 2 является частным решением, которое получается из общего при C = 0. Теперь находим частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, т.е. решаем задачу Коши. Для этого в общее решение подставляем x = 0 и y = 3 и находим значение постоянной C: . ОтсюдаC = 1. Подставив найденное значение С в общее решение уравнения, получаем решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям (решение задачи Коши) .

Примеры для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнения:

Решить задачу Коши:

1.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Литература: [1], гл. I, § 1.3

[3], гл. XIII, § 5

[5], Ч. 2, гл. 11, § 11.2

Функция f (x, y) называется однородной функцией n-ой степени, если при любом t выполняется условие . Например, функцияявляется однородной нулевой степени, так как.

Отметим одну из особенностей однородных функций нулевой степени: если положить , то получим, т.е. однородные функции нулевой степени можно рассматривать как функции аргумента вида.

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнения вида , где функцияявляется однородной функцией нулевой степени. В дифференциальной форме однородные уравнения имеют вид, где функцииf₁(x, y) и f₂(x, y) являются однородными одинаковой степени. Для решения однородных уравнений нужно сделать подстановку , где, которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение, очевидно, не является уравнением с разделяющимися переменными. Проверим, является ли это уравнение однородным. Для этого разрешим его относительно производной

.

Проверим функцию в правой части на однородность: . Значит,однородная функция нулевой степени и дифференциальное уравнение является однородным. Для его решения делаем замену. Тогда. После подстановки в уравнение получаем. Откуда. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получаем. После интегрирования имеемили, откуда. Так как, то─ общий интеграл уравнения.