- •Программа,
- •Общие указания
- •Программа курса высшей математики (III семестр)
- •Тема 1. Дифференциальные уравнения
- •Тема II. Ряды
- •Рекомендуемая литература
- •1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение. Начальные условия. Задача Коши
- •1.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Примеры для самостоятельного решения
- •1.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Примеры для самостоятельного решения
- •1.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
- •Примеры для самостоятельного решения
- •1.6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Примеры для самостоятельного решения
- •1.7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •1.8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Примеры для самостоятельного решения
- •1.10. Системы дифференциальных уравнений
- •Примеры для самостоятельного решения
- •2. Числовые ряды
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Необходимый признак сходимости рядов
- •2.3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.3.1. Признак сравнения
- •2.3.2. Предельный признак сравнения
- •2.3.3. Признак Даламбера
- •Примеры для самостоятельного решения.
- •2.3.4. Радикальный признак Коши
- •Примеры для самостоятельного решения
- •2.3.5. Интегральный признак Коши
- •Примеры для самостоятельного решения.
- •2.4. Сходимость и расходимость знакопеременных рядов
- •2.5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Примеры для самостоятельного решения
- •3. Функциональные ряды
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Степенные ряды. Интервал сходимости
- •Примеры для самостоятельного решения
- •1); 2); 3);
- •4) ; 5); 6) .
- •3.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
- •3.4. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды
- •Примеры для самостоятельного решения
- •1) ; 2); 3).
- •3.5. Приложения степенных рядов
- •Примеры для самостоятельного решения
- •4. Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье
- •Задания для контрольных работ Контрольная работа № 5 «Дифференциальные уравнения»
- •4.10. .
2.3.3. Признак Даламбера
Если для положительного ряда существует предел вида, то этот ряд сходится прии расходится при. Припризнак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда.
Замечание. Признак Даламбера используют в том случае, если формула общего члена ряда содержит множитель или является показательной функцией отn.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. На возможность применения признака Даламбера указывает наличие в формуле общего члена множителей и.
Здесь . Для получениязаменим в формулевсеn на n+1. Получим . Тогда
.
По признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Здесь ,. Применяем признак Даламбера:
.
Ряд расходится.
Примеры для самостоятельного решения.
Исследовать на сходимость, пользуясь признаком Даламбера, следующие ряды:
а) ; б); в); г).
2.3.4. Радикальный признак Коши
Если для положительного ряда существует предел, то приl<1 данный ряд сходится, а при l>1 − расходится. При l=1 радикальный признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
На практике признак Коши применяется чаще всего, когда общий член ряда представляет собой показательную или показательно-степенную функцию от n.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Общий член ряда содержит выражение в степени n. Поэтому целесообразно воспользоваться радикальным признаком Коши:
.
Исследуемый ряд сходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Вычислим предел
,
где .
Для вычисления этого предела воспользуемся правилом Лопиталя, предварительно прологарифмировав полученное выражение:
.
Так как lnt=0, то t=1, и, следовательно, .
Так как , то по радикальному признаку Коши ряд расходится.
Примеры для самостоятельного решения
Исследовать на сходимость при помощи радикального признака Коши следующие ряды:
а) ; б); в); г).
2.3.5. Интегральный признак Коши
Пусть общий член ряда представляет собой значение функции при, т.е.. Если при этом функциямонотонно убывает в некотором промежутке, где, то данный ряд сходится, если сходится несобственный интеграл, и расходится, если этот несобственный интеграл расходится. Из этой теоремы вытекает важное для практики следствие: для сходящегося ряда с общим членом, удовлетворяющим условиям теоремы, остаток ряда можно оценить из соотношения.
Рассмотрим примеры применения интегрального признака Коши.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Так как является значением функцииприи эта функция непрерывна и монотонно убывает в промежутке, то исследуем на сходимость несобственный интеграл
.
Интеграл расходится. Следовательно, расходится и данный ряд.
Примеры для самостоятельного решения.
Исследовать на сходимость при помощи интегрального признака Коши следующие ряды:
а) ; б); в); г).
2.4. Сходимость и расходимость знакопеременных рядов
Литература: [5], Ч. 3, гл. 15, § 15.4
Ряд с членами произвольных знаков называется знакопеременным. В дальнейшем будут рассматриваться ряды с бесконечным числом положительных и отрицательных членов.
Знакопеременный ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов .
Теорема об абсолютной сходимости ряда: если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, то данный знакопеременный рядтакже сходится (т.е. является абсолютно сходящимся).
Ряд называетсяусловно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов , расходится.
Основные свойства абсолютно и условно сходящихся рядов:
1) абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой перестановке его членов;
2) изменяя порядок следования членов в условно сходящемся ряде, можно сделать сумму ряда равной любому наперед заданному числу или даже сделать ряд расходящимся;
3) если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то сходятся ряды составленные только из его положительных или только отрицательных членов; если же ряд сходится условно, то упомянутые выше ряды сходятся.
Пример 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
Решение. Ряд знакочередующийся, в связи с ростом знаменателя его членов последние убывают по абсолютной величине. Легко видеть, что предел общего члена ряда при n→∞ равен нулю: . Значит, по признаку Лейбница данный знакочередующийся ряд сходится.
Рассмотрим теперь ряд, составленный из модулей его членов,
Это гармонический ряд, который, как известно, расходится. Следовательно, данный ряд − условно сходящийся.
Пример 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
Решение. Данный ряд знакопеременный, так как может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда:
Ввиду очевидного неравенства по признаку сравнения для положительных рядов имеем, что рядсходится, т.к. сходится ряд. Из сходимости рядапо признаку абсолютной сходимости имеем, что рядсходится и притом абсолютно.