Примеры для самостоятельного решения

Найти общие решения уравнений:

Решить задачу Коши:

1.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Литература: [1], гл. I, § 1.3

[3], гл. XIII, §§ 7, 8

[5], Ч. 2, гл. 11, § 11.3

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , линейное относительно искомой функцииy и ее производной . Здесьи─ заданные непрерывные функции.

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка можно найти методом Бернулли, согласно которому решение уравнения ищем в виде произведения двух функций . Тогдаи после подстановки в уравнения получаем. Функциювыберем так, чтобы. Это уравнение с разделяющимися переменными, решив которое найдем неизвестную функцию. Функциюнаходим из условия, которое также представляет собой уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Легко увидеть, что данное уравнение является линейным. Поэтому его решение ищем в виде . Тогда. После подстановки этих выражений в уравнение получаем. Сгруппировав слагаемые, которые содержат множитель, получаем. Приравняв множитель прик нулю, получаем два уравнения для определения функцийи:

(1) и (2).

Решаем первое из этих уравнений, разделяя переменные, . Отсюда имееми. Обращаем внимание, что в методе Бернулли при нахождении первой функции постоянную интегрирования можно не вводить. Далее с учетом найденного значениярешаем уравнение (2):. После разделения переменныхи интегрирования, получаем.

Общее решение уравнения .

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида , где,(приполучается линейное уравнение, а приуравнение с разделяющимися переменными).

Уравнение Бернулли можно решать методом Бернулли или свести его к линейному при помощи подстановки .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение Бернулли, так как в правой его части содержится y в третьей степени (n=3). Решение ищем в виде . Тогда. После подстановки в уравнение получаем. Группируем слагаемые в левой части этого уравнения, содержащие множитель:. Отсюда имеем уравнения для определения функцийи:(1) и(2). Решаем первое из этих уравнений:. Откудаи после интегрирования. Значит,. Находим функциюиз уравненияили. Разделяем переменныеи интегрируем. Отсюда.

Общее решение уравнения .

Примеры для самостоятельного решения

Найти общие решения уравнений:

Решить задачу Коши:

1.6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка

Литература: [1], гл. I, §§ 1.11, 1.14

[3], гл. XIII, §§ 16, 18

[5], Ч. 2, гл. 11, § 11.5

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид или.

Общим решением уравнения n-го порядка называется такая функция , содержащаяn произвольных постоянных, которая является решением этого уравнения и из которого путем подбора значений постоянных можно найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (решение задачи Коши).

Начальные условия для уравнения n-го порядка имеют вид:

.

Далее теорию дифференциальных уравнений n-го порядка рассмотрим на примере уравнений второго порядка.

Уравнения, допускающие понижение порядка:

1) уравнение вида решается непосредственным двукратным интегрированием.

Пример 1. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее условиям.

Решение. Представив вторую производную в виде , получаем уравнение с разделяющимися переменными. Откуда. Так как, то.После интегрирования получим общее решение уравнения. Теперь решаем задачу Коши:. Следовательно,. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид.

2) уравнение вида или, не содержащее в явном виде искомую функциюy.

Для его решения следует применить подстановку . Тогдаи после подстановки получаем уравнение первого порядка.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение не содержит y в явном виде. С помощью подстановки приведем его к уравнению первого порядкаили. Это линейное уравнение первого порядка, которое решаем методом Бернулли:. Тогдаи. Откудаи,,. Так как, тои. Тогда. С учетом того, что, имееми после интегрирования получим.

2) уравнение вида или, не содержащее в явном виде независимую переменнуюx.

Для решения понижаем порядок уравнения заменой . В отличие от предыдущего случая здесь переменнаяp является функцией от переменной y. Поэтому дифференцируя по x, имеем . В результате после замены получаем уравнение первого порядка.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение не содержит x в явном виде. С помощью подстановки приведем его к уравнению первого порядка. Это уравнение с разделяющимися переменными. Поэтомуи. Откуда. Так как, то,и─ общий интеграл уравнения.