Программа курса высшей математики (III семестр)

Тема 1. Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения. Задача Коши.

3. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

4. Однородная функция нулевого измерения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и метод их решения.

5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

6. Уравнения Бернулли. Метод их решения.

7. Дифференциальные уравнения второго порядка. Общее и частное решения. Задача Коши.

8. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Методы их решения.

9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (однородные и неоднородные).

10. Линейная зависимость и независимость функций.

11. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

12. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Запись общего решения уравнения в случаях различных действительных корней характеристического уравнения, кратных и комплексных корней.

13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема о структуре их общего решения.

14. Нахождение общего и частного решений линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Метод вариации произвольных постоянных.

15. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем линейных однородных уравнений методом исключений.

Тема II. Ряды

1. Определение числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Геометрический и гармонические ряды. Необходимое условие сходимости ряда.

2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак сравнения. Предельный признак сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка погрешности при замене суммы знакочередующегося ряда частичной суммой.

5. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.

6. Степенные ряды. Интервал сходимости. Радиус интервала сходимости. Определение области сходимости степенного ряда.

7. Ряды Тейлора и Маклорена.

8. Разложения в степенной ряд функций ,,,,,.

9. Применение степенных рядов для приближенных вычислений значений функций, интегралов, приближенного решения дифференциальных уравнений.

10. Понятие о гармонических функциях. Сумма гармоник с кратными частотами. Тригонометрический ряд.

11. Ортогональная система функций. Основная тригонометрическая система. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке (-l, l).

12. Теорема Дирихле о разложении функции в ряд Фурье.

13. Сдвиг основного промежутка. Формулы для разложения в ряд Фурье функций, заданных на промежутке (0, 2l) и на произвольном промежутке.

14. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.