
- •Тема похідна
- •§1. Задачі, що приводять до поняття похідної
- •I Задача про дотичну
- •II Задача про швидкість
- •§2. Означення й зміст похідної
- •§3. Нескінченні й однобічні похідні
- •I Нескінченні похідні
- •§4. Диференційовності функції
- •§5. Основні правила диференціювання
- •§6. Похідні основних елементарних функцій
- •III Логарифмічна функція
- •IV Тригонометричні функції
- •V Обернені тригонометричні функції
- •VI Гіперболічні й обернені гіперболічні функції
- •VII Зведення формул для похідних
- •§5 (Продовження). Основні правила диференціювання
- •VII Логарифмічна похідна
- •VIII Диференціювання оберненої функції
- •IX Диференціювання функції, даної в параметричній формі
- •X Диференціювання функції, даної неявно
- •§7. Диференціал функції
- •I Означення й геометричний зміст
- •II Інваріантність форми першого диференціала
- •III Таблиця диференціалів
- •§8. Похідні вищих порядків
- •I Означення й позначення
- •II Похідні деяких функцій
- •§2. Теорема про середнє значення
- •§3. Узагальнення формули скінчених приростів
- •§4. Розкриття невизначеностей.
- •I Поняття невизначеного виразу
- •II Невизначеності виду ,.
- •III Інші види невизначеностей.
§4. Розкриття невизначеностей.
Правило Бернуллі-Лопиталя
I Поняття невизначеного виразу
Нехай
і
– нескінченномалі,
а
й
– нескінченновеликі
функції при
.
Невизначеними
виразами
(або невизначеностями) при
називають наступнівирази:
1)
– невизначеністьвиду
;
2)
– невизначеністьвиду
;
3)
– невизначеністьвиду
;
4)
– невизначеністьвиду
;
5)
– невизначеністьвиду
;
6)
– невизначеністьвиду
;
7)
– невизначеністьвиду
.
Розкрити
невизначеність означає обчислити
границю (відповідного виразу)
за умови, що
.
II Невизначеності виду ,.
Теорема
Бернуллі-Лопиталя.
Нехай функції
й
задовольняють
умовам:
1) визначені й диференційовані
на
;
2)
;
3)вираз
є
при
невизначеністювиду
або
.
Тоді, якщо існує границя
(скінчена абонескінчена),
то існує й границя
,
причому справедлива формула
.
Іншими словами, границю відношення двох н.м. або н.в. функцій можна замінити границею відноношення їхніх похідних, якщо остання існує – це і є правило Бернуллі-Лопиталя.
Доведення.
Доведемо теорему лише для випадку
.Довизначемо
функції
й
уточці
,
поклавши їх рівниминулю:
.
Тепер ці функції неперервні на всьому
замкнутому проміжку
:
їхнє значення вточці
а
збігаються з
границями (адже
й
при
),
в інших жеточках
неперервність випливає з диференційованості.
До цієї пари функцій можемо застосувати
теорему Коші з §3:
,
де
.
З огляду на, що функції вточці
а
дорівнюють нулю,
одержимо
.
Очевидно,
що при
й
.
Права частина останньої рівності має
при
границю
(за умовою теореми), але тоді й ліва
частина має ту ж саму границю.
Зауваження
1.
Аналогічне твердження
має місце й для лівої границі, а також
для границь на нескінченності, тобто
при
.
Приклад
1.
Для
.
Цією границеюдоведено,
нарешті, співвідношення
,
тобто
при
(
).
Зауваження
2.
Якщо похідні
й
задовольняють тим же вимогам, що й самі
функції
й
,
то правило Бернуллі-Лопиталя
можна застосувати
повторно.
Приклад
2.
.
Неважко
помітити, що
.
Інакше
кажучи,
або
при
.
Зауваження 3. Правило Бернуллі-Лопиталя можна застосовувати тільки, коли границя відношення похідних існує. Наприклад,
,
але
не існує. Цей приклад показує, що з
не-існування
не можна робитивисновку
про
Зауваження 4. Існують ситуації, у яких застосування правила Бернуллі-Лопиталя нічого не дає.
Приклад
3.
.
Ще одне застосування правила поверне нас до початкової границі.
III Інші види невизначеностей.
Ще раз
нагадаємо, що правило Бернуллі-Лопиталя
можна застосовувати
лише до невизначеностей виду
й
.
Всі інші невизначеності необхіднозводити
до однієї із цих
двох шляхом алгебраїчних перетворень.
А)
.
Тому що
,
то цю невизначеність можна звести до
або
.
Приклад
4.
Для
:
.
Помітимо,
що, якщо інакше перетворити добуток
у частку, то застосування правила
Бернуллі-Лопиталя
приводить до ускладнення невизначеності:.
B)
.
Тому що
,то
дана невизна-ченість
зводиться
до виду
.
Часто, втім,того
ж вдається
досягти простіше.
Приклад
5.
Обчислення
можна спростити, якщо перед першим
застосуванням правила використати
еквівалентність
,
:
.
С)
,
,
.
Тому що
(основна
логарифмічна
тотожність) і
(неперервність показникової функції),
то невизначеності цих типів зводяться
до невизначеностівиду
.
Приклад
6.
(дивися приклад 4).
Приклад
7.
(дивися приклад 1).
Зауваження 5. Розкриваючи невизначеності за правилом Бернуллі-Лопиталя, доцільно використовувати й інші методи обчислення границь: еквівалентності, заміна змінної й т.д.
Приклад
8.
(дивися
приклад 2).