§2. Теорема про середнє значення

Теорема Ролля. Нехай функція задовольняє умовам: 1)неперервна на ; 2)диференційована на ; 3). Тоді існуєточка така, що.

Доведення. Через неперервность функції на замкнутому проміжку існують точки такі, що,і, тому. Для цихточок є 2 можливості: 1) вони збігаються з кінцями проміжку; 2) хоча б одна з них є внутрішньою точкою. У першому випадку із випливає, що, тобто. Тому,.

У другому випадку, точка або, що потрапила усередину проміжку,є точкою екстремуму функції й тому щодиференційована в цій точці, із теоремі Ферма маємо: .

Обидві можливості приводять до того, що усередині існуєточка c, у якій .

Зауваження 1. Геометричною мовою теорема Ролля означає наступне: якщо крайні ординати кривої рівні, то на кривій знайдеться точка, де дотична паралельна осі Ox. При цьому вимоги неперервності функції найдиференційованості на істотні й не можуть бути ослаблені.

Теорема Лагранжа. Нехай функція неперервна найдиференційована на . Тоді існуєточка така, що має місце формула:

. (1)

Доведення. Введемо допоміжну функцію ,визначивши її на рівністю:.

Ця функція, так само як і , задовольняє першим двом умовам теоремиРолля. Підберемо  так, щоб (третя умова теореми Ролля):

.

Тепер до функції можназастосувати теорему Ролля: і:, тобто

.

Теорема доведена.

Зауваження 2. Теорему Лагранжа називають основною теоремою диференціального числення, а формулу (1), записану у вигляді

, (2)

називають формулою скінчених приростів. Покладемо , аточку c, що лежить між x і запишемо у вигляді, де. Тоді:

.

Ця формула дає точне значення для приросту функції при будь-яких скінчених приростах аргументу. Цим вона відрізняється від формули нескінченно малих приростів (§4, тема “Похідна”)

,

з якої випливає лише наближена рівність

,

справедлива для досить малих .

Зауваження 3. Нехай . Тоді права частина формули (1) є кутовий коефіцієнтсічної AB. Геометрично теорема Лагранжа означає наступне: на графіку функції міжточками А и В найдеться точка , дотична в якійпаралельна січної AB.

Незважаючи на те, що у формулі скінчених приростів фігурує невідоме число с (або ), ця формула має численні застосування.

Приклад 1. Довести оцінку

.

Для доведення розглянемо функцію . Тоді

, .

Виходить, , де. Оцінимо похідну функції

у точці с:

.

Множачи всі частини цієї подвійної нерівності на 0.2, одержимо:

.

Приклад 2. Формула (1) дозволяє доводити деякі корисні нерівності. Наприклад,

, ,

тому що . Або, якщо тільки: для.

Лекція 11

§3. Узагальнення формули скінчених приростів

Теорема Коші. Нехай функції йзадовольняють умовам: 1) не-перервні на; 2)диференційовані на ; 3)на. Тоді існуєточка така, що справедлива формула:

. (1)

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію . Вона неперервна найдиференційована на . Підберемо так, щоб :

. (2)

З таким  ця функція задовольняє умовам теореми Ролля, отже :. Але, значитьі

.

Порівнюючи цю формулу з (2), одержимо (1).

Зауваження 1. Знаменник лівої частини формули (1) відмінний від нуля. У противному випадку до функції можна було бзастосувати теорему Ролля й усередині одержати точку, у якій , що суперечить умові теореми Коші.

Зауваження 2. Може здатися, що теорема Коші не містить нічого нового: адже до кожної з функцій іможназастосувати формулу скінчених приростів (2) з §2. Однак, теорема Лагранжа не гарантує, що точка та сама для різних функцій.