§8. Похідні вищих порядків

I Означення й позначення

Якщо функція диференційована на деякому проміжку, то її похідна самає функцією, визначеною на цьому проміжку. Отже, стосовно неї можна порушувати питання про існування й знаходження похідної. Якщо вона існує, то її називають другою похідною (або похідною 2^го порядку), і позначають одним із символів

.

Аналогічно, якщо існує похідна від другої похідної, те її називають третьою похідною і позначають, наприклад, .

Взагалі, похідною n-го порядку називають похідну від похідної (n–1)-го порядку й позначають . Отже, заозначенням

.

II Похідні деяких функцій

1. y=sinx, y=cosx

Перші похідні цих функцій і формули приведеннядозволяють методом математичної індукціїодержати вирази для похідних n-го порядку:

.

2. y=x^

Якщо , то, послідовно диференціюючи,одержимо ,, і взагалі:

.

Якщо ж показник степеня натуральний, то:

3. y=a^x

, зокрема, ,.

4. y=lnx

,

.

III Деякі правила

Очевидно, що й. Для похідної

n-го порядку від добутку функцій є т.зв. формула Лейбниця. Приведемо її без доведення

, де .

Помітимо, що під похідною нульового порядку прийнято розуміти саму функ-цію: .

IV Функція, що дана параметрично

Нехай функція задана параметричними рівняннями

Її перша похідна – це також функція,яка задана параметрично:

Тоді

Приклад. Для перша похідна має виглядТодій друга похідна така:

V Функція, що дана неявно

Повторне диференціювання такої функції покажемо на прикладі:

Тоді за означенням:

.

Залишається підставити в останній вираз значення :

.

Отриманий вираз можна спростити, використовуючи саме рівняння:

.

Тема ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО

ДИФЕРЕНЦІЙОВАНІ ФУНКЦІЇ

Лекція 10

§1. Необхідна умова экстремуму

Розглянемо функцію , якавизначена на проміжку , і нехайточка –внутрішня точка проміжку: .

Означення 1. Точка називаєтьсяточкою (локального) максимуму функції , якщо існує окіл цієїточки, у якому (при ) виконується нерівність. Іншими словами, для малихприростів аргументу приріст функції .

Означення 2. Точка називаєтьсяточкою (локального) мінімуму функції , якщо існує окіл цієїточки, у якому (при ) виконується нерівність. Іншими словами,при малих.

Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму. Їх можна характеризувати в такий спосіб: приріст функції в точці екстремуму має постійний знак, що не залежить від знака (якщодостатньо мало).

Теорема Ферма. Якщо функція диференційована в точці й має в ційточці локальний екстремум, то .

Доведення. Диференційованість означає існування скінченої границі

.

Для цієї границі є три можливості: 1) ; 2); 3). Припустимо, що. Тоді для близьких до нулярізницевевідношення . Якщо ж, то й(для малих). В обох випадках знакзалежить від знака. Але за умовою теореми– цеточка екстремуму, виходить, знак не залежить від знака. Це протиріччя означає, щоне може бути нідодатним, ні від‘ємним. Залишається остання можливість: .

Зауваження 1. Ця теорема має простий геометричний зміст: якщо в точці графіка функції , який відповідаєекстремум функції, існує дотична до графіка, то ця дотична паралельна осі Ox.

Зауваження 2. Сформульована в теоремі умова є необхідна, але не достатня. Наприклад, функція має похідну, щостає нулем у точці . Однак,

.

Вираз в дужках завжди додатний, як неповний квадрат суми. Отже, і вточці немаєекстремуму.