§4. Раскрытие неопределенностей. Правило Бернулли-Лопиталя

I Понятие неопределенного выражения

Пусть и– бесконечно малые, аи– бесконечно большие функции при.

Неопределенными выражениями (или неопределенностями) при называют следующие выражения:

1) – неопределенность вида;

2) – неопределенность вида;

3) – неопределенность вида;

4) – неопределенность вида;

5) – неопределенность вида;

6) – неопределенность вида;

7) – неопределенность вида.

Раскрыть неопределенность означает вычислить предел (соответствующего выражения) при .

II Неопределенности вида ,.

Теорема Бернулли–Лопиталя.Пусть функциииудовлетво- ряют условиям: 1) определены и дифференцируемы на; 2); 3)выражениеявляются принеопределенностью видаили. Тогда, если существует предел(конечный или бесконечный), то существует и предел, причем справедлива формула

.

Другими словами предел отношения двух б.м. или б.б. функций можно заменить пределом отношения их производных, если последний существует – это и есть правило Бернулли-Лопиталя.

Доказательство.Докажем теорему лишь для случая. Доопределим функцииив точке, положив их равными нулю:. Теперь эти функции непрерывны во всем замкнутом промежутке: их значение в точкеасовпадают с пределами (ведьипри), в других же точках непрерывность вытекает из дифференцируемости. К этой паре функций можем применить теорему Коши из §3:

,

где . Учитывая, что функции в точкеаравны нулю, получим

.

Очевидно, что при и. Правая часть последнего равенства имеет припредел(по условию теоремы), но тогда и левая часть имеет тот же самый предел.

Замечание 1.Аналогичное утверждение имеет место и для левого предела, а также для пределов на бесконечности, т.е. при.

Пример 1.Для. Этим пределом доказано, наконец, соотношение, то естьпри().

Замечание 2.Если производныеиудовлетворяют тем же требованиям, что и сами функциии, то правило Бернулли-Лопиталя можно применить повторно.

Пример 2..

Нетрудно заметить, что

.

Другими словами, илипри.

Замечание 3.Правило Бернулли-Лопиталя можно применять только, когда предел отношения производных существует. Например,

,

но не существует. Этот пример показывает, что из не-существованиянельзя делать вывод о.

Замечание 4.Существуют ситуации, в которых применение правила Бернулли-Лопиталя ничего не дает.

Пример 3..

Еще одно применение правила вернет нас к исходному пределу.

III Другие виды неопределенностей.

Еще раз напомним, что правило Бернулли-Лопиталя применимо лишь к неопределенностям вида и. Все остальные неопределенности необходимо сводить к одной из этих двух путем алгебраических преобразований.

А) . Так как, то эту неопределенность можно свести кили.

Пример 4.Для:

.

Заметим, что, если иначе преобразовать произведение в частное, то применение правила Бернулли-Лопиталя приводит к усложнению неопределенности:.

B). Так как,то данная неопреде-ленность сводится к виду. Часто, впрочем, того же удается достигнуть проще.

Пример 5.

Вычисления можно упростить, если перед первым применением правила использовать эквивалентность ,:

.

С) ,,. Так как(основное логарифмическое тождество) и(непрерывность показательной функции), то неопределенности этих типов сводятся к неопределенности вида.

Пример 6.(смотри пример 4).

Пример 7.

(смотри пример 1).

Замечание 5.Раскрывая неопределенности по правилу Бернулли-Лопиталя, следует использовать и другие методы вычисления пределов: эквивалентности, замена переменной и т.д.

Пример 8.

(смотри пример 2).

69