Тема производная

Лекция 8

§1. Задачи, приводящие к понятию производной

I Задача о касательной

Определение.Касательной к линииLв ее точкеМ₀называется предельное положение секущейM₀M, когда точкаMвдоль линииLстремится произвольным образом к совпадению с точкойM₀.

Чтобы придать математическую строгость этому определению, будем считать, что линия L– это график некоторой функции.

Пусть– фиксированная точка графика, а–текущая точка. Обозначим. Стремление точкиM кМ₀равносильноили. Через точкуМ₀ проходит много прямых, все они отличаются друг от друга угловыми коэффициентами. Касательная к графику в точкеМ₀ – это та прямая, угловой коэффициент которой есть предел углового коэффициента

секущей M₀Mпри:

II Задача о скорости

Пусть по прямой, на которой выбраны начало отсчета, единица измерения и направление, движется точка по закону (– это координата точки на прямой в момент времениt ). Важной характеристикой движения является скорость. Для равномерного движения (т.е. движения с постоянной скоростью) можно взять произвольный промежуток времении разделить пройденный путьна длительность промежутка времени, т.е. на. Именно потому, что скорость постоянная, полученный ответ не будет зависеть ни от, ни от.

В общем случае движения с переменной скоростью отношение есть не что иное как средняя скорость движения за промежуток. Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше длительность. Устремляя к нулю, мы и получим мгновенную скорость.

Замечание.Две различные задачи, рассмотренные выше, привели в процессе решения к одному и тому же результату – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. Имеется много задач в самой математике и в ее приложениях, которые приводят к необходимости вычисления таких пределов.

§2. Определение и смысл производной

Рассмотрим функцию , определенную в точкеи в некоторой ее окрестности. Придадим аргументуxприращение, не выводящее аргумент за пределы окрестности. Функция получит приращение.

Определение.Предел отношения приращения функциик приращению аргументапри(если этот предел существует) обозначаетсяи называется производной функциипо переменной вxточкеx₀.

Итак, по определению

.

Из определения следует, что производная – это число. Однако чаще всего оказывается, что это число можно вычислить не только в одной точке x₀, а во всех точках некоторого интервала. Тем самым на этом интервале определяется некоторая новая функция, которая тоже называется производной функциии обозначается:. Кроме этих обозначений используются и другие:

– производная как функция (читается “дэ игрек по дэ икс”),

– производная в фиксированной точкеx₀.

Сравнивая результаты, полученные в §1, с определением производной, можно придать производной смысл:

1) если – закон движения, то;

2) – это угловой коэффициент (тангенс угла наклона к осиOx) касательной к графику функциив точке с абсциссойx₀.

Используя 2) легко написать уравнение касательной:

и нормали, т.е. прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной:

.

Пример.Вычислить (по определению) производную функции.

Замечание 1.Производнуюудобно понимать как скорость изменения функцииотносительно аргументаx.

Замечание 2. Отношение приращения функциик приращению аргументаназываютразностным отношением функции.