- •Министерство образования и науки украины
- •Рецензент: Скобцов ю.О., д.Т.Н., профессор
- •Операции над множествами
- •Основные законы алгебры множеств:
- •Задание к лабораторной работе.
- •Контрольные вопросы.
- •Отношения на множествах
- •Теоретическая справка
- •Способы задания отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •2. Антирефлексивность: .
- •4. Симметричность: .
- •5. Антисимметричность: .
- •6. Транзитивность: .
- •Функциональные отношения
- •Задание к лабораторной работе
- •Булевы функции. Законы алгебры логики. Аналитические способы описания. Полные системы функций
- •Теоретическая справка Определение функции алгебры логики
- •Табличный способ представления фал
- •Графическое представление фал
- •Функции алгебры логики одного аргумента
- •Функции алгебры логики двух аргументов
- •Элементарные функции алгебры логики
- •Условные приоритеты булевых функций
- •Выражение одних элементарных функций через другие
- •Аналитическая запись фал
- •Дизъюнктивная нормальная форма (днф)
- •Дизъюнктивная совершенная нормальная форма (дснф)
- •Алгоритм перехода от табличного задания функции к дснф
- •Конъюнктивная совершенная нормальная форма
- •Алгоритм построения конъюнктивной совершенной нормальной формы
- •Полные системы фал
- •Задание к лабораторной работе
- •Минимизация фал на кубе
- •Пункты решения задачи о минимизации фал
- •Минимизация в четырехмерном пространстве
- •Метод Квайна минимизации булевых функций
- •Метод Мак-Класки минимизации булевых функций
- •Графический метод минимизации: карты Карно и диаграммы Вейча
- •Основные принципы построения карт Карно
- •Задание к лабораторной работе
- •Алгоритм генерации варианта
- •Контрольные вопросы
Основные законы алгебры множеств:
1) Коммутативные законы
2) Ассоциативные законы
3)Дистрибутивные законы
4)Законы с иU
А=ААU=АА=U
А=АU=UА=
==U
6) Законы идемпотентности
, ,
7) Законы поглощения
А(АВ) =АА(В) =АВ
А(АВ) =АА(В) =АВ
8) Законы де Моргана
9) Законы склеивания
Задание к лабораторной работе.
Заданы множества X,Y,Z,U, правила образования:
X–множество букв имени студента;
Y–множество букв отчества студента;
Z– множество букв фамилии студента;
U –универсальное множество = {ъ,ё, гласные , отсутствующие в множествахX, Y, Z}
1. Вычислить:
- X Y , X Z, Y Z, X Y Z;
- Y Z , X Y Z;
- X \ Z, Z \ X; X ; X Z;
- X , X (Y Z); (X \ Z) (Y \ Z).
2. Нарисовать диаграммы Эйлера для следующих операций:
- X Y Z;
- (X Y) ;
- ();
- (X \ Z) (Y \ Z).
3. Проверить экспериментально на множествахX, Y, Zсправедливость следующих утверждений:
= ;
= ;
X \ (Y Z) = (X \ Y) (X \ Z);
X \ (Y Z) = (X \ Y) (X \ Z).
4. Записать булеан для произвольного подмножества множества Z мощности 4. Выписать все возможные разбиения и привести примеры 3 покрытий этого подмножества.
Контрольные вопросы.
Дать определение множества.
Привести примеры конечных и бесконечных множеств.
Указать существующие способы задания множеств.
Дать определения пустого и универсального множеств.
Что называют подмножеством множества?
Ввести понятия операций над множествами.
Привести примеры операций над множествами с помощью кругов Эйлера.
Записать основные законы и теоремы алгебры множеств.
Лабораторная работа № 2
Отношения на множествах
Цель работы: изучение способов задания отношений, приобретение практических навыков в проверке основных свойств отношений, классификация отношений.
Теоретическая справка
Прямое (декартово) произведение множеств Х и Y– множество упорядоченных пар, таких что:
.
При X=Y множество называется декартовой степенью множества X и обозначается X2.
Бинарное отношение на множествах X и Y – произвольное подмножество прямого произведения двух множеств .
Если , то отношениезадано на множествеХ.
Если ,тонаходятсяв отношении илисвязаныотношением: .
Область определения D бинарного отношения – множество первых элементов каждой упорядоченной пары .
Область значений J бинарного отношения – множество вторых элементов каждой упорядоченной пары .
Способы задания отношений
1) Список пар или задание характеристического свойства
.
.
2) Матрица отношения
В матрице отношения строки соответствуют элементам множества , а столбцы элементам множества:
Матрица отношения имеет вид
1 |
2 |
3 |
4 | |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Матрица отношения имеет вид
1 |
2 |
3 |
4 | |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3) Графическое изображение отношений
Существует несколько вариантов графического изображения отношений. Во-первых, отношение может бать зображено в декартовой системе координат. На каждой оси откладываются элементы множеств и, например, на оси – элементы множества , а на оси– элементы множества . Если пара , то на плоскости будет зображена точка с координатами .
Например.
Графическое изображение отношения в декартовой системе координат.
Во-вторых, отношениеможет бать зображено в виде ориентированного графа. На плоскости точками изображаются элементы множеств X и Y.
Если пара принадлежит отношению, то дугою соединяются точки, которые отвечают паре , причемдуга направлена от первого элементако второму. Обозначая, таким образом, все пары,что принадлежат отношению, получим фигуру, которая называется графом отношения.
Например.
Графическое изображение отношения:
={ (1,5), (2,4), (3,6), (6,2) } на Х, Х2, Х = {1,2,3,4,5,6}.