- •Министерство образования и науки украины
- •Рецензент: Скобцов ю.О., д.Т.Н., профессор
- •Операции над множествами
- •Основные законы алгебры множеств:
- •Задание к лабораторной работе.
- •Контрольные вопросы.
- •Отношения на множествах
- •Теоретическая справка
- •Способы задания отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •2. Антирефлексивность: .
- •4. Симметричность: .
- •5. Антисимметричность: .
- •6. Транзитивность: .
- •Функциональные отношения
- •Задание к лабораторной работе
- •Булевы функции. Законы алгебры логики. Аналитические способы описания. Полные системы функций
- •Теоретическая справка Определение функции алгебры логики
- •Табличный способ представления фал
- •Графическое представление фал
- •Функции алгебры логики одного аргумента
- •Функции алгебры логики двух аргументов
- •Элементарные функции алгебры логики
- •Условные приоритеты булевых функций
- •Выражение одних элементарных функций через другие
- •Аналитическая запись фал
- •Дизъюнктивная нормальная форма (днф)
- •Дизъюнктивная совершенная нормальная форма (дснф)
- •Алгоритм перехода от табличного задания функции к дснф
- •Конъюнктивная совершенная нормальная форма
- •Алгоритм построения конъюнктивной совершенной нормальной формы
- •Полные системы фал
- •Задание к лабораторной работе
- •Минимизация фал на кубе
- •Пункты решения задачи о минимизации фал
- •Минимизация в четырехмерном пространстве
- •Метод Квайна минимизации булевых функций
- •Метод Мак-Класки минимизации булевых функций
- •Графический метод минимизации: карты Карно и диаграммы Вейча
- •Основные принципы построения карт Карно
- •Задание к лабораторной работе
- •Алгоритм генерации варианта
- •Контрольные вопросы
Свойства бинарных отношений
Пусть задано на множестве, .
1. Рефлексивность: .
Отношение на множествеXназываетсярефлексивным, если для любого имеет место, то есть каждый элемент находится в отношениик самому себе.
Матрица рефлексивного отношения имеет единичную главную диагональ, а граф рефлексивного отношения – имеет петлю возле каждого своего элемента.
Например:
,
,
,
.
На множестве людей: “быть родственником”, ”обучаться в одной студенческой группе ”.
На множестве множеств: A B, A=B.
2. Антирефлексивность: .
Отношение на множествеXназываетсяантирефлексивным, если не существует такого, что имеет место, то есть ни один элемент не находится в отношении к самому себе.
Матрица антирефлексивного отношения имеет нулевую главную диагональ, а граф – не имеет ни одной петли.
Например:
,
,
.
На множестве людей: “быть родителем”, ”быть ребенком”.
На множестве множеств: A B, AB.
3. Нерефлексивность: .
4. Симметричность: .
Отношение на множествеXназываетсясимметричным, если для всех и из Х, из принадлежности (x,y) отношению следует, чтои принадлежит отношению.
Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали, а граф – для каждой дуги (x,y) существует обратная дуга(y,x).
Например:
,
,
.
На множестве людей: “быть родственником”, ”обучаться в одной студенческой группе ”. Отношение "брат" является симметричным на множестве мужчин и не является симметричным на множествевсех людей.
На множестве множеств: ,.
5. Антисимметричность: .
Отношение на множествеXназываетсяантисимметричным, если для всех и из Х, из принадлежности (x,y) и(y,x) отношению следует, что.
Матрица антисимметричного отношения не имеет ни одной симметричной единицы относительно главной диагонали, а граф – длякаждой дуги (x,y) не существует обратная дуга(y,x) и наоборот.
Свойства симметричности и антисимметричности не являются взаимоисключающими, примером может служить отношения равенства на множестве натуральных чисел.
Например:
,
,
,
,
.
На множестве людей: “быть выше”, ”быть равным”.
На множестве множеств: ,,.
6. Транзитивность: .
Отношение на множественазываетсятранзитивным, если для всех из множества ,из принадлежности и отношению следует, что также принадлежит .
Например:
,
,
,
,
,
.
На множестве людей: “быть выше”, ”обучаться в одной студенческой группе”.
На множестве множеств: , , .
Отношение r на множестве Xнеявляется транзитивным,если существует, хотя бы один пример того,что для некоторых х,y,z множества Х из принадлежности (x,y) и(y,z) отношению r не следует,что (x,z) такжепринадлежит r.
Например.
1) .
Отношение неявляется транзитивным,потому что из принадлежности этому отношению пар и, неследует,что и парапринадлежит отношению .
2) Пусть задано двухэлементное множество определим все бинарные отношения на этом множестве: . Для всех отношений, заданных на множестве , определить наличие или отсутствие основных свойств.
Введем следующие обозначения:
а) рефлексивность– Р;
б) антирефлексивность– АР;
в) симметричность– С;
г) антисимметричность– АС;
д) транзитивность– Т.
№ |
Р |
АР |
С |
АС |
Т | |
1 |
- |
+ |
+ |
+ |
+ | |
2 |
- |
- |
+ |
+ |
+ | |
3 |
- |
+ |
- |
+ |
+ | |
4 |
- |
+ |
- |
+ |
+ | |
5 |
- |
- |
+ |
+ |
+ | |
6 |
- |
- |
- |
+ |
+ | |
7 |
- |
- |
- |
+ |
+ | |
8 |
+ |
- |
+ |
+ |
+ | |
9 |
- |
+ |
+ |
- |
- | |
10 |
- |
- |
- |
+ |
+ | |
11 |
- |
- |
- |
+ |
+ | |
12 |
- |
- |
+ |
- |
- | |
13 |
+ |
- |
- |
+ |
+ | |
14 |
+ |
- |
- |
+ |
+ | |
15 |
- |
- |
+ |
- |
- | |
16 |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
Отношение порядка– антисимметрично, транзитивно.
Отношение нестрого порядка() – рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.
Например:
,
.
На множестве множеств: ,.
Отношение строгого порядка() – антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно.
Например:
,
.
На множестве множеств: “”.
- “x предшествует y в смысле отношения строгого порядка”,
- “x предшествует y в смысле отношения нестрогого порядка”.
Два элементаи некоторого упорядоченного множества (множества, на котором существует отношение порядка) сравнимы между собой, если предшествует , и/или предшествует в смыслеотношения порядка.
Если в упорядоченном множестве существует пара элементов x и y, для которойни непредшествует , ни не предшествует , тогда говорят, что эти два элементанесравнимы между собой в смысле этого.
В отношениях полногопорядка все элементы сравнимы между собой, а в отношенияхчастичногопорядка не все элементы сравнимы между собой.
Например:
Отношения полного порядка:
,
.
Отношения частичного порядка:
,
,
на множестве множеств: , ,.
Отношение эквивалентности( ) – рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Класс эквивалентностидля элемента:.
Например:
,
.
На множестве людей: “иметь одно имя”, ”обучаться в одной студенческой группе”.
На множестве множеств: .
Отношение эквивалентности разбивает –множество, на котором задано отношение нанепересекающиеся, которые называют классами эквивалентности.
Элементы, принадлежащие одному классу, находятсямежду собой в отношении эквивалентности, элементы из разных классов в отношении эквивалентности между собой не находятся.
Например:
Отношение задано на множествесписком пар.
Область определения: .
Область значений: .
Отношение – рефлексивно, симметрично, транзитивно, следовательно, это отношение эквивалентности.
Классы эквивалентности:
.
Например:
Отношение .
Это отношение называют отношением сравнения по модулюна множестве натуральных чисел.
означает, чтоиимеют одинаковый остаток при делении на.
Отрезок натурального ряда .
Отношение сравнения по модулю 3 на :
.
Область определения и область значений: .
Отношение – рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Отношение – отношение эквивалентности.
Классы эквивалентности: .
Пусть – некоторое бинарное отношение.
Обратным отношением называется отношение, которое определяется следующим образом:
Обратное отношение получается путём перестановки значений в парах исходного отношения.
Пусть и– произвольные бинарные отношения такие, чтогде– некоторые множества.
Композиция отношений и – это таке бинарное отношение которое состоит из упорядоченных пар для которых существует такой элемент, что выполняются условия:
Например.
.
.
.
.