Полные системы фал

Система ФАЛ {f₁, f₂,…, f_n} называется полной в некотором классе функций, если любая функция из этого класса может быть представлена суперпозицией этих функций.

Система ФАЛ, являющаяся полной в некотором классе функций, называется базисом.

Минимальным базисом называется такой базис, для которого удаление хотя бы одной из функций f_i, которые его образуют, превращает эту систему функций в неполную.

Любая функция может быть представлена с помощью элементарных функций {¬, &, }. Эта система ФАЛ образует универсальный базис.

Наиболее популярными в алгебре логики являются базисы{,¬},{&,¬}, {},{|}, которые являются минимальными.

Например:

Представить функциюв базисах{, }. Для проверки результата составить таблицу истинности.

Решение:

Для перевода в базис {, }применим закон де Моргана к ДСНФ функции:.

Cтолбцы, соответствующие функции F(x, y, z) в таблицах истинности равны, следовательно, преобразования выполнены правильно.

Задание к лабораторной работе

1. По заданному варианту, составить таблицу истинности функции трех переменных F(x,y,z). Изобразить графически F(x,y,z) на кубе.

2. Построить ДСНФ и КСНФ.

3. Используя законы алгебры логики, пошагово преобразовать заданную функцию в ДНФ. Построить таблицу истинности.

4. Наиболее простую аналитическую форму перевести в базисы {,}, {,&} и сравнить с заданной функцией, построив таблицу истинности.

Контрольные вопросы

1. Определение двоичного набора.

2. Определение булевой функции или функции алгебры логики (ФАЛ).

3. Область определения и область значений ФАЛ.

4. ФАЛ от одной переменной.

5. Элементарные ФАЛ от двух переменных.

6. Основные законы алгебры логики.

7. Полные системы функций, минимальный базис.

8. Аналитическое описание ФАЛ: дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы.

Лабораторная работа № 4

Методы минимизации функций алгебры логики.

Цель работы: получение практических навыков минимизации функций алгебры логики в классе ДНФ графическими и таблично-аналитическими методами.

Теоретическая справка

Основные определения

Буква- переменная или ее отрицание.

Элементарная конъюнкция– конъюнкция, в которой каждая буква встречается не более одного раза.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Ранг элементарной конъюнкции– количество переменных, которые ее образуют.

Дизъюнктивная совершенная нормальная форма (ДСНФ)– ДНФ, состоящая из конъюнкций ранга, где –количество переменных.

Суммарный ранг ДНФ(R) – сумма рангов конъюнкций ДНФ.

Минимальная ДНФ – ДНФ, имеющая наименьший суммарный рангR по сравнению с другимиДНФ, эквивалентными данной функции.

Минимизация фал на кубе

Рассмотрим проблему минимизации для геометрического способа задания ФАЛ на кубе. Сопоставим различным геометрическим элементам куба (вершинам, ребрам, граням и кубу) конъюнкции различных рангов. Сумма размерности геометрического эквивалента и ранга конъюнкции, ему соответствующей равна числу аргументовФАЛ.

Каждый геометрический элемент меньшей размерности покрывается геометрическими элементами большей размерности.

Каждая конъюнкция большего ранга покрывается всеми конъюнкциями меньшего ранга.

Геометрические эквиваленты называют интервалами.

Интервал L-го ранга – подмножество вершин куба, соответствующих конъюнкции ранга L.

Например:

Конъюнкции соответствует 4 вершины: 100, 101, 110, 111.

На кубе отмечают вершины, где ФАЛравна1. Эти вершины образуют подмножествоТ₁. Для того, чтобы задатьДНФна кубе, необходимо задать покрытие всех вершин.

Максимальный интервал J – интервал, для которого не существует никакого другого интервала J’ с рангом меньше, чем у J, и такого, что выполняется следующее соотношение .

Например:

Пусть ФАЛ задана множеством.

ДСНФ .

Ранг ДСНФ равен.

Определим множество интервалов:.

Ранг равен , а дляинтервалов иранг равен двум. Интервалыиявляются максимальными, а интервалне является максимальным, так каки рангменьше ранга.

На рисунке отмечены максимальне интервалы.

Сокращенная ДНФ (СДНФ) – ДНФ, которая соответствует покрытию множестваТ₁ всеми максимальными интервалами.

Минимальная ДНФполучается изСДНФпутем выбрасывания из покрытия множестваТ₁максимальными интервалами некоторых “лишних” интервалов.

Задача о минимизации ФАЛрассматривается как задача о нахождении минимальнойДНФ.Необходимо найти покрытиемножества, прикотором будетминимальным

,

где–ранги всехинтервалов, что составляют покрытие для данной ФАЛ.