posobia_4semФизика / Квантовая оптика _пособие_

Практическое занятие 8 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА

1.Сформулируйте соотношение неопределенностей Гейзенберга .

2.Запишите соотношения неопределенностей:

1)для координаты и импульса частицы,

2)для энергии и времени

и поясните все физические величины, входящие в соотношения.

Примеры решения задач

Задача 1.

Координата пули определена с точностью до 0,1 мм. С какой точн остьюx можно определить скорость пули? ( m 10 г).

x 2 mh x .

Подставим численные значения:

x ~ 6,62 10-34 10-28 (м/с). 10-2 10-4

Эта величина настолько мала, что никаким прибором ее измерить нел ьзя. Следовательно, соотношение неопределенностей практически не огран ичивает точности измерения координаты и скорости макротел.

Ответ: x 10-28 м/с.

81

Задача 2.

Электрон находится внутри атома, размер которого имеет порядок 10 10 м. Найдите неопределенность скорости x и сравните ее с величиной скорости на боровских орбитах.

Распишем рx :

рx m x ,

где x - неопределенность скорости. Тогда:

Этот результат говорит о неприменимости полуклассической теории Бора для рассмотрения электрона в атоме, т. к. сама величина скорости эле ктрона на орбите из теории Бора имеет порядок 10 6 м/с.

Ответ: vx 106 м/с.

Задача 3.

Кинетическая энергия T электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оц енить минимальные линейные размеры lmin атома.

82

Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l , тогда электрон атома будет находиться где -то в пределах области с

Подставив числовые значения и произведя вычисления, найдем:

Ответ: lmin 124 пм.

Задача 4.

Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии принять равной 10 8 с, а длину волныизлучения – равной 600 нм.

83

Тогда ширина энергетического уровня определяется выражением:

Г .

Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состо яния фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня, т.е. Г . Тогда

заменив согласно (1), получим

2 . 2 c

Произведем вычисления:

84

Ответ: 2 10 14 м.

Рекомендуемые задания для внеаудиторного рассмотрения

1.Определить неопределенность х в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью υ = 1,5·106 м/с, если допускаемая неопределённость υ в определении скорости составляет 10% от её величины. Сравнить полученную неопределённость с диаметром d атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, прим енимо ли понятие траектории в данном случае.

Ответ: 1) х = 768 пм, 2) d = 105,8 пм, 3) понятие траектории не применимо.

2.При движении вдоль оси X скорость оказывается определенной с точностью x 1 см/с. Оценить неопределенность координ аты х :

а) для электрона;

б) для броуновской частицы массы m ~ 0,1 10 3 г; в) для дробинки массы m ~ 0,1 г.

Ответ: а) х ~ 1 см, б) х ~ 10 27 см, в) х ~ 10 30 см.

3. Молекула водорода учавствует в тепловом движении при температуре

300 К. Найдите неопределённость координаты х молекул водорода. Ответ: х = 23 пм.

4. Положение центра шарика массой 1 г определено с ош ибкой х ~ 10 5 см. Какова будет неопределенность в скорости X для шарика?

Ответ: x 1,05 10 24 м/с.

5. Электрон с кинетической энергией Т = 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d = 1 мкм. Оценить относительную неопределённость/ , с которой может быть определена скорость электрона.

Ответ: 10 4 .

85

6. Во сколько раз дебройлевская длина волны λБ частицы меньше неопределённости х её координаты, которая соответствует относительной неопределённости импульса в 1%.

Ответ: х 16 .

Б

7. Параллельный пучок электронов с энергией 10 эВ падает по нормали на экран с узкой щелью шириной 10 нм. Оцените, с помощью с оотношения неопределенностей, относительную неопределе нность импульса р/р для электронов, проходящих сквозь щель.

Ответ: pp 6,2 10 3 .

8. Используя соотношение неопределённости х рх , оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома ℓ ≈ 0,1 нм.

Ответ: Е1 = 15 эВ.

9. Длину волны можно определить с точностью 10 -6 относительных единиц. Чему равна неопределенность х в положении рентгеновского кванта длиной волны 10 10 м при одновременном изменении его длины волны? П остоянная Планка h 6,63 10 34 Дж·с.

Ответ: х 0,16 10 4 м.

10.Время жизни нейтрального пиона равно 8·10 -17 с. С какой точностью m может быть определена его масса?

Ответ: m = 1,5·10-35 кг.

Домашнее задание

1.Составить конспект ответов на вопросы.

2.Решить следующие задачи:

1.Оцените наименьшие ошибки, с которыми можно определить ск орость шарика массой 10 6 кг и электрона, если положение центра шарика и

положение электрона установлены с точностью 10 6 м. Постоянная Планка h 6,63 10 34 Дж·с.

86

Ответ: 1) ш 1,055 10 22 м/с, 2) е 116 м/с.

2. Предполагая, что неопределённость координаты х движущейся частицы равна дебройлевской длине волны λБ, определить относительную неопределённость р/р импульса этой частицы.

Ответ: pp 16% .

3. Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределённостей, линейные размеры d ядра.

Ответ: d = 2,87 фм.

4. Используя соотношение неопределённостей Е t ≥ ћ, оцените ширину Г энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: 1) в основном состоянии; 2) в возбуждённом состоянии (время τ жизни атома в возбуждённом состоянии равно 10-8 с).

Ответ: 1) Г = 0 Дж; 2) Г = 65,6 нэВ.

5. Среднее время жизни возбуждённого состояния атома равно τ = 12 нс. Определите минимальную неопределённость длины λ волны λ=0,12 мкм излучения при переходе атома в основное состояние.

Ответ: λ = 637 ам.

87

Практическое занятие 9 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ

«ЯЩИКЕ», АТОМЕ ВОДОРОДА. КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА. ОРБИТАЛЬНЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ. СПИН ЭЛЕКТРОНА. ПРИНЦИП ПАУЛИ. ЗАПОЛНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛОЧЕК В АТОМЕ

1.Каков смысл волновой функции?

2.Каков физический смысл плотности вероятности?

3.Запишите общее уравнение Шредингера.

4.Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний.

5.Что определяют, какие значения принимают и что характеризуют

квантовые числа:

1)главное;

2)орбитальное;

3)магнитное.

6.Что подтверждает эффект:

1)Зеемана;

2)Штарка.

7.Перечислите спектроскопические символы и соответствующее значение орбитального квантового числа.

8.Запишите формулы для орбитального:

1)момента импульса электрона;

2)магнитного момента электрона;

3)их проекций на направление внешнего м агнитного поля.

9.Запишите гиромагнитное отношение для орбитальных магнитного и механического моментов.

10.Спин и спиновой магнитный момент и их проекция на направление внешнего магнитного поля.

11.Принцип Паули.

Литература: Т., Гл. 28, 29, §§ 216 - 220, 223 - 228, с 398 - 407 , 412 – 423; 2000.

88

произведем замену

89

Задача 2. Моноэнергетический поток электронов E = 100 эВ падает на низкую прямоугольную потенциальную ступень бе сконечной ширины (рис. 2). Определить высоту потенциальной ступени , если известно, что 4% падающих на эту ступень электронов отражается.

Где k1 и k2 - волновые числа, отвечающие движению электронов в областях I и II (см. рис. 3).

В области I кинетическая энергия электронов равна Е и волновое число:

Поскольку координата электрона не определ ена, то импульс электрона определяется точно и, следовательно, в данном случае можно говорить о точном значении кинетической энергии.

В области II кинетическая энергия электрона равна Е – U0 и волновое число:

k2 1h 2m E U0 .

Коэффициент отражения может быть записан в виде (В случае низкой потенциальной ступени k1 и k2 действительны, а знак модуля можно опустить):

Разделим числитель и знаменатель дроби на 2mE :

90