Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

posobia_4semФизика / Квантовая оптика _пособие_

.pdf
Скачиваний:
221
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
831.28 Кб
Скачать

 

Дано:

Си:

 

0,58 мкм

0,58∙10-6м

m

 

 

5,67 10 8 Вт/м2·К4

 

b 2,90 10 3 м·К

 

Re

?

 

температуры и выражается форм улой

Решение:

Энергетическая светимость Re

абсолютно черного тела в соответствии с законом СтефанаБольцмана пропорциональна четвёртой степени абсолютной

R T 4

,

 

(1)

e

 

 

 

 

 

 

 

где – постоянная Стефана-Больцмана;

T

– термодинамическая

температура.

 

 

 

 

 

 

 

Температуру T , входящую

 

в

формулу

(1),

можно вычислить с

помощью закона смещения Вина:

 

 

 

 

 

 

 

 

b

,

 

 

 

(2)

 

 

 

m

T

 

 

 

 

 

 

 

где b постоянная первого закона Вина.

 

 

Используя формулы (2) и (1), получим:

 

 

 

 

b

4

 

 

Re

 

 

 

 

.

 

(3)

 

m

 

 

 

 

 

 

Подставим числовые значения в формулу (3), произведём вычисл ения:

R 5,67

10 8

 

2,90 10 3

4

35,4 106 (Вт/м2).

 

 

 

 

5,8 10

7

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: R 35,4∙106 Вт/м2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Электрическая

печь потребляет

мощность

P 500 Вт. Температура её

внутренней поверхности при открытом небольшом отверстии

d 5 см равна

7000 С. Какая часть потребляемой мощности рассеивается сте нками?

 

Дано:

 

 

 

Си:

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P 500Вт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

установившемся

тепловом

t 7000 С

 

 

 

973K

 

 

режиме

печи

вся

ежесекундно

d 5см

 

 

 

0,05м

 

 

потребляемая ею электрическая энергия

5,67 10 8 Вт/м2·К4

 

 

 

 

(т.е.

мощность)

излучается

наружу

 

 

 

 

 

 

 

 

отверстием и стенками. Следовательно:

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

Э

Э

,

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

где Ф

и Ф

- потоки излучения, испускаемые отверстием и стенк ами

Э

Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответственно. В

задаче требуется

найти отношение

Ф

. С учётом

Э

P

формулы (1) его можно выразить так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

1

 

 

(2)

 

 

 

Э

 

Э

.

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

Рассматривая излучение печи через небольшое отверстие в ней как изл учение

абсолютно

 

чёрного

тела,

из

зависимости

R

ФЭ

и

закона

Стефана-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Больцмана RЭ T 4

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

R S T 4

d 2

.

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

Э

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь по формуле (2) с учётом (3) находим:

 

 

 

 

1

 

d 2

 

T

4

3,14 0,052

 

5,67 10 8 (973)4

0,8.

 

4

P

1

 

4

 

 

500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 0,8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вольфрамовая

нить

накаливается в вакууме силой

тока I1

1,00 А до

температуры T1 1000 К. При какой силе тока нить накалится до температуры T2 3000 К? Коэффициенты излучения вольфрама (коэффициенты черн оты) и его удельные сопротивления, соответствующие температурам T1 и T2 равны:

a

0,115, a

0,334

,

25,7 10 8

Ом м ,

 

2

96,2 10 8 Ом м .

 

 

T

T

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 1,00 А

 

 

 

Рассмотрим

 

излучающее

тело

при

T1 1000 К

 

 

 

установившейся температуре. Получим

 

T 3000 К

 

 

 

 

P

Э

 

4

d 2

,

(1)

2

0,115

 

 

 

 

Э

4

aT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

где P

– мощность,

потребляемая

нитью

от

aT

0,334

 

 

 

 

 

 

источника электрической энергии,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

25,7 10 8

Ом м

 

 

ФЭ - поток излучения, испускаемый н итью.

2

96,2 10 8

Ом м

 

 

 

 

Выразим мощность P

через величины I, с

I2 ?

 

 

 

помощью

 

 

закона

 

Джоуля-

12

Ленца:Q I 2 Rt и связи R Rl . Получим:

P I 2 R

I 2 l

.

(2)

 

 

S

 

Чтобы найти поток излучения

Фэ , необходимо

учесть, что излучение

вольфрама существенно отличается от излучения абсолютно чёрного тела, нагретого до такой же температуры. Поэтому, используя соотн ошения

RЭ ФSэ ,

и

RЭ aT T 4 ,

(где aT - коэффициент излучения (коэффициент черноты), показывающий

какую часть составляет энергетическая светимость RЭ данного тела от энергетической светимости абсолютно чёрного тела при той же температуре, зависит от природы тела и от его температуры),

запишем:

Ф

э

a T 4 S .

(3)

 

T

 

Из (1) - (3) следует:

I 2 l aT T 4S2 .

Записав это уравнение дважды для нити, нагретой до температуры T1 и T2 , получим:

I12 1l aT1 T14S2 ,

I22 2l aT2 T24S2 .

Разделив почленно эти два уравнения, найдём ответ:

 

 

T

2

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

I1

aT

1

.

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

1

 

T1

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

I2

 

3000

 

 

0,334 25,7 10 8

7,9 (А).

1,0

1000

 

 

 

0,115 96,2

10

8

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: I2 7,9А.

13

Задача 7.

В спектре Солнца максимум спектральной плотности энергетич еской светимости приходится на длину во лны 0 0,47 мкм. Приняв, что Солнце излучает как абсолютно чёрное тело, найти интенсивность солне чной радиации (т.е. поверхностную плотность I потока излучения) вблизи Земли за пределами её атмосферы.

 

Дано:

Си:

 

0,47 мкм

0,47∙10-6м

0

 

 

rc 6,95 108 м r 1,5 1011 м

5,67 10 8 Вт/м2·К4 b 2,9 10 3 м.К

I ?

Решение:

Согласно определению поверхностной плотности потока излучения I , называемой также интенсивностью излучения (радиации) можно записать:

I WЭ

э

,

(1)

 

St

S

 

(т.к. поверхностная плотность потока энергии есть количество энергии, переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярно

направлению распространения энергии), где WЭ - энергия излучения, Фэ WtЭ - поток излучения сквозь поверхность S . Сравнивая формулу (1) с формулой

энергетической светимости RЭ ФSэ , видим, что величины

в одинаковых единицах.

Очевидно, что интенсивность излучения I Солнца вблизи Земли пропорциональна энергетической светимости RЭ поверхности Солнца. Чтобы

найти связь между величинами I, RЭ , учтём, что весь поток излучения, испускаемый поверхностью Солнца (пусть rC - радиус Солнца), проходит сквозь поверхность радиуса r (рис. 1), равного расстоянию от Земли до Солнца:

Фэ RЭ 4 rC2 I 4 r2 . Отсюда

I и RЭ выражаются

СrC

r

З

Рис. 1

14

I R

r C2

.

(2)

 

Э r2

 

Используя закон Стефана-Больцмана

( R T 4 ) и вычислив

 

 

 

Э

температуру солнечной поверхности по закону смещения Вина ( 0T b, где b 2,9 10 3 м.К – первая постоянная Вина) находим:

 

 

b

4

RЭ T 4

 

.

0

 

 

 

Так как величины rC и r - табличные, то, записав в (2) вместо значение из (3), определим искомую величину:

(3)

RЭ её

 

b

4

rC 2

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполняя вычисления, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,9 10

3

4

 

8

2

 

I 5,67 10 8

 

 

 

 

 

 

6,95 1011

 

1,8 103(Вт/м2).

0,47 10

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,5 10

 

 

Ответ: I 1,8кВт/м2.

Примечание:

В действительности как показывает опыт величина I 1, 4 кВ/м2. Неточность найденного объясняется тем, что излучение Солнца отличается от излучения а бсолютно чёрного тела.

Задача 8.

Железный шар диаметром 10 см, нагретый до температуры 12270 С, остывает на открытом воздухе. Через какое время его температура пон изится до 1000 К? При расчете принять, что шар излучает как серое тело с коэффициентом поглощения (поглощательной способностью) 0,5. Теплопроводность воздуха не учитывать.

 

Дано:

 

Си:

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 10 см

 

0,1м

 

По закону Стефана-Больцмана:

t1

12270 С

 

1500К

 

энергия, излучаемая за 1с единицей

T2

10000 К

 

 

 

поверхности

абсолютно черного тела,

aT 0,5

 

 

 

пропорциональна

четвертой

степени

 

 

 

абсолютной

 

 

 

температуры

тела.

7,85 103 кг/м3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому энергия, излучаемая телом за 1 с

с 460 Дж/кг·К

 

 

 

 

 

 

равна:

 

 

 

 

 

5,67 10 8 Вт/м2·К4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dE0 T

4

Sdt ,

 

t ?

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

постоянная

Стефана-

15

Больцмана, T - температура

абсолютно черного тела,

S – площадь

поверхности тела.

 

 

dE

a T 4Sdt ,

(1)

0

T

 

где aT 1 – коэффициент поглощения.

С другой стороны, количество энергии, теряемое шаром при пон ижении температуры на величину dT , равно:

dE cmdT ,

где c – удельная теплоемкость железа, m – масса шара. Приравняв правые части уравнений (1) и (2), имеем:

aT T 4Sdt mcdT . Откуда:

dt

cm

dT .

 

 

a S T 4

 

T

Проинтегрируем выражение (3):

t

 

 

cm

 

T2

dT

 

dt

 

 

 

 

T 4

 

a S

 

0

 

 

T

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cm

 

 

1

 

 

1

 

t

 

 

 

 

 

 

.

3a S

T 3

T 3

 

T

 

 

2

 

 

1

 

(2)

(3)

Учитывая, что площадь шара, его объем и масса равны соответс твенно:

S D2 ,

 

V

1

D3 ,

m V ,

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

t

c D

 

1

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

18a

T 3

T 3

 

 

T

 

2

 

 

 

1

 

 

 

где – плотность железа, - постоянная Стефана-Больцмана. Подставив значения величин, получим:

 

10 1

7,9 103

460

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

t

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

500(с).

18 0,5 5,67

10

10

9

15

3

10

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: Температура шара понизится до 1000К за 8 мин 20с.

16

 

Рекомендуемые задания для внеаудиторного рассмотрения

1.

Поток энергии Фе , излучаемый из смотрового окошка плавильной печи,

равен

34 Вт. Определить

температуру Т печи, если площадь отверстия

S 6см2.

 

 

Ответ: Т = 1кК.

 

2.

Определить энергию

W , излучаемую за время t = 1мин из смотрового

окошка площадью S 8 cм2

плавильной печи, если ее температура T 1,2 кК.

 

Ответ: W = 5,64 кДж.

 

3.В излучении абсолютно чёрного тела, площадь поверхности котор ого равна 25см2, максимум энергии приходится на длину волны 600нм. Сколько энергии излучается с 1см2 этого тела за 1с?

Ответ: Re = 3094 Вт/см2.

4.Принимая коэффициент теплового излучения aТ угля при температуре

T 600 К равным 0,8, определить: 1) энергетическую светимость Re угля; 2) энергию W , излучаемую с поверхности угля площадью S 5см2 за время t 10 мин.

Ответ: Rс 5,88кВт/м2; W 1,76 кДж.

 

е

 

5. Муфельная печь потребляет мощность P 1кВт. Температура

T её

внутренней поверхности при открытом отверстии площадью S 25 см2

равна

1,2кК. Считая, что отверстие печи излучает как черное тело, опред елить, какая часть мощности рассеивается стенками.

Ответ: 0,71.

6. Можно условно принять, что Земля излучает как серое тело, нах одящееся при температуре T 280 К . Определить коэффициент теплового излучения aТ

Земли, если энергетическая светимость Rс

её поверхности равна

325

е

 

 

кДж/( м2 ч ).

Ответ: аТ 0,26 .

17

7. Мощность P излучения шара радиусом R 10 см при некоторой постоянной температуре T равна 1кВт. Найти эту температуру, счит ая шар серым телом с коэффициентом черноты aТ 0,25 .

Ответ: T 866К.

8. Температура вольфрамовой нити накаливания в двадцатипятиват тной электрической лампе равна 2450К, а её излучение составляет 30% и злучения абсолютно чёрного тела при той же температуре поверхности. Найти площадь поверхности S нити накала.

Ответ: S = 0,41 см2.

9. Максимум спектральной плотности энергетической св етимости (r ,T )max яркой звезды Арктур приходится на длину волны m 580 нм. Принимая, что звезда излучает как черное тело, определить температуру T поверхности звезды.

Ответ: T 5 .

10.Вследствие изменения температуры абсолютно черного тела макс имум спектральной плотности излучательности (r , )max сместился с 1 2,4мкм на

2 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменились энергетич еская светимость Re тела и максимальная спектральная плотность энерг етической светимости

(r ,T )max ?

Ответ: увеличились в 81 и в 243 раза.

11.Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к изл учению абсолютно чёрного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счёт излучения.

Ответ: mt 5,1 109 кг/с.

12.Температура T черного тела равна 2кК. Определить: 1) спектрал ьную плотность энергетической светимости (r ,T )max для длины волны 600 нм; 2)

энергетическую светимость Re в интервале длин волн от 1 590нм до2 610 нм. Принять, что средняя спектральная плотность энергетической

18

светимости тела в этом интервале равна значению, на йденному для длины волны 600 нм;.

Ответ: 1) r ,Т 30 МВт , м2 мм

2) Re 600Вт/м2.

13.Найти мощность Р электрического тока, подводимую к вольфрам овой нити диаметром d = 0,5 мм и длиной = 20 см, для поддержания её температуры 3000 К. Считать, что тепло теряется только вследствие изл учения. Температура окружающей среды 1000 К. Коэффициент теплового излучения вольфрама 0,3.

Ответ: Р = 427,5 Вт.

14.Чёрный тонкостенный металлический куб со стороной а = 10 см заполнен водой при температуре Т1 = 80°С. Определить время τ остывания куба до температуры Т2 = 30°С, если он помещён внутрь зачернённой в акуумной камеры. Температура стенок камеры поддерживается близкой к абсолютному нулю.

Ответ: τ = 1,51 час.

15.Оценить давление р теплового излучения в центре ядерного взрыва. Температуру Т в эпицентре принять равной 10 6 К.

Ответ: р = 2,52·103 атм.

Домашнее задание

1.Составить конспект ответов на вопросы.

2.Решить следующие задачи:

1.Какова средняя температура земной поверхности, если длина волны, соответствующая максимуму её теплового излучения, равна 10мкм.

Ответ: Т = 290 К.

2. С поверхности сажи площадью S 2 см2 при температуре T 400 К за t 5 мин излучается энергия W 83 Дж. Определить коэффициент теплового излучения (коэффициент черноты) aТ сажи.

Ответ: аТ 0,953.

19

3. Температура верхних слоёв Солнца равна 5,3 кК. Считая Солнце черным телом, определить длину волны m , которой соответствует максимальная спектральная плотность энергетической светимости (r ,T )max Солнца.

Ответ: m 547 нм.

 

 

 

 

 

 

4. Определить

температуру

T

чёрного

тела,

при

которой

максимум

спектральной

плотности энергетической светимости

(r ,T )max приходится на

красную границу видимого спектра ( 1

750 нм); на фиолетовую ( 2 380нм).

Ответ: T1 3,8

кК, T2 7,6 кК.

 

 

 

 

 

5. Черное

тело

нагрели от

температуры

T1 500 К

до

T2 2000 К.

Определить:

 

 

 

 

 

 

 

 

1)во сколько раз увеличилась его энергетическая светимость;

2)как изменилась длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимост и.

Ответ: 1) Rе2 = 256 (раз увеличилась);

Rе1

2)4,35 (уменьшилась на 4,35 мкм).

6.Черное тело находится при температуре T1 2900К. При его остывании

длина волны, соответствующая максимуму спект ральной плотности энергетической светимости, изменилась на 9мкм. Определить температуру T2 , до которой тело охладилось.

Ответ: T2 290 К.

7. При какой температуре Т давление р теплового излучения станет равным нормальному атмосферному давлению ратм = 1,013·105 Па.

Ответ: Т = 142 кК.

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.