posobia_4semФизика / Квантовая оптика _пособие_
.pdf
5. При каком наименьшем напряжении U min на рентгеновской трубке
начинают появляться линии серии К меди? Ответ: Umin = 8 кВ.
6. Найдите длину волны линии К меди (Z = 29), если известно, что длина волны линии К железа (Z = 26) 193 пм.
Ответ: Кα2 = 154 пм.
7.При исследовании линейчатого рентгеновского спектра некоторого
элемента было найдено, что длина волны λ линии Кα равна 76 пм. Какой это элемент?
Ответ: Z = 41, по таблице Менделеева Ниобий.
8.Сколько элементов содержится в периодической таблице Менделеева
между теми, у которых длины волн линий К равны 250 пм и 179 пм? Ответ: N = 4.
9.В атоме вольфрама электрон перешёл с М – слоя на L – слой. Принимая постоянную экранирования σ равной 5,5, определить длину волны λ испущенного фотона.
Ответ: Lα = 0,14 нм.
10.Найдите постоянную экранирования для L-серии рентгеновских лучей, если известно, что для вольфрама ( Z 74 ) длина волны линии L равна 0,143 нм.
Ответ: σL = 6,25.
11.Во сколько раз длина волны линии К меньше длины волны линии L в характеристическом рентгеновском спектре молибдена ( Z 42 )? Постоянная экранирования для L-серии L 7,5, для К-серии K 1.
Ответ: L 7,63.
К
71
12.Чему равно напряжение на рентгеновской трубке, если коротковолн овая граница сплошного рентгеновского спектра в два раза больше длины волны линии К характеристического спектра элемента с Z 64 ?
Ответ: U = 20,2 кВ.
Домашнее задание
1.Составить конспект ответов на вопросы.
2.Решить следующие задачи:
1.Определить энергию фотона, соответствующего линии K в характеристическом спектре марганца ( Z 25 ).
Ответ: Ка 5,9 кэВ.
2.Вычислить длину волны и энергию фотона, принадлежащего K -
линии в спектре характеристического рентгеновского излучения плат ины.
Ответ: Ка 20,5 |
, Ка 60,6 |
. |
|
|
3. Во сколько раз максимальная частота max |
сплошного рентгеновского |
|||
спектра железа ( Z 26 ) больше |
частоты |
K |
линии К в его |
|
|
|
|
|
|
характеристическом спектре, если напряжение на рентгено вской трубке 100 кВ?
Ответ: max 15,7 .
K
4. Найдите напряжение на рентгеновской трубке с никелевым ( Z 28 ) анодом, если разность длин волн линии К и коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равна 84 пм.
Ответ: U = 5 кВ.
72
Практическое занятие 7 ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ
1.Кто и когда выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно - волновой дуализма?
2.В чем состоит дуализм “волна -частица”?
3.Запишите формулу де Бройля
1)в классическом приближении ( c; p m0 ),
2)в релятивистском случае (скорость частицы сравнима со скоростью с
света в вакууме; p m |
|
m0 |
|
). |
|
|
|
||
1 2 / c2 |
4. Как связаны длина волны де Бройля с кинетической энергией Т частицы
1)в классическом приближении,
2)в релятивистском случае.
Литература: Т., Гл. 28, §213, 214, С. 393-396, 2000.
Примеры решения задач
Задача 1.
Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U . Найти длину волны де Бройля для
двух случаев: 1) U1 51 |
|
В; 2) U 2 510 кВ. |
|
|
|||
Дано: |
|
Си: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
U1 51 В |
|
51 104 В |
|
Длина волны де Бройля для частицы зависит от |
|||
U 2 510 кВ |
|
|
её импульса p и определяется формулой: |
|
|||
|
|
|
|
|
h |
|
|
? |
|
|
|
|
, |
(1) |
|
|
|
p |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где h 6,63 10 34 Дж·с - постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия T . Связь импульса с кинетической энергией различна для
нерелятивистского случая (когда |
кинетическая энергия частицы T |
много |
|
меньше её энергии покоя E0 ) |
и для релятивистского случая |
(когда |
|
кинетическая энергия T сравнима с энергией покоя E0 частицы). |
|
||
В нерелятивистском случае: |
|
|
|
p |
|
, |
(2) |
2m0T |
|||
73
где |
m0 |
- масса покоя частицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В релятивистском случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p 1 |
2E0 |
T T , |
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
E |
0 |
m c2 - энергия покоя частицы. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется: |
|
|||||||||||
в нерелятивистском случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
, |
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2m0T |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в релятивистском случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
. |
|
(5) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2E0 |
T T |
|
||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в |
||||||||||||
условии задачи разности потенциалов |
U1 51 |
В и U 2 51 104 |
В, с энергией |
||||||||||
покоя электрона и в зависимости от этого решим, которую из формул (4) или
(5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего у скоряющую разность потенциалов U ,
T eU .
В первом случае T1 eU1 51 эВ 0,51 10 4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона E0 m0c2 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчётов заметим, что
T 10 4 m c2 . Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в в иде: |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
10 |
2 |
|
|
h |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2m0 |
10 4 m0c2 |
|
|
2 m0c |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Учтя, что |
h |
есть комптоновская длина волны , получим: |
|
||||||||||||||||||||
m0 c |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как 2,43 пм, то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
10 |
2 |
|
2,43 171 (пм). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Во втором случае кинетическая энергия |
T2 eU 2 510 кэВ |
0,51 МэВ, |
|||||||||||||||||||||
т.е. равна энергии |
покоя |
электрона. В этом |
случае необходимо |
прим енить |
|||||||||||||||||||
74
релятивистскую формулу (5). Учтя, что |
T |
2 |
0,51 МэВ |
m c2 |
, по формуле (5) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
найдём: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
h |
, |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
2m0 c |
|
|
|
m0 c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
m0 c |
2 |
2 |
3m0 c |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим значение и произведем вычисления:
2 |
2, |
43 1,40 (пм). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1 |
171пм; 2 1,40 пм. |
|
|
|
|
|
е |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На узкую щель (рис. 1) шириной a 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
мкм |
направлен |
параллельный |
|
пучок |
|
|
|
|
|
|
||||||||
электронов, |
имеющих скорость |
|
3,65 L |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Мм/с. |
Учитывая |
волновые |
|
свойства |
|
|
|
|||||||||||
электронов, определить расстояние |
x |
между |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
двумя максимумами |
интенсивности |
первого |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
порядка |
в |
|
дифракционной |
|
картине, |
|
|
|
Ltg |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
полученной на экране, отстоящем на |
L 10 |
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
см от щели. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дано: |
|
|
|
Си: |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a 1 мкм |
|
|
10-6м |
|
|
|
|
Согласно гипотезе де Бройля, длина |
||||||||||
3,65 Мм/с |
|
|
3,65∙106м/с |
|
|
волны , соответствующая частице массой |
||||||||||||
m 9,11 10 31 |
кг |
|
|
|
|
|
m , |
движущейся |
со |
|
скоростью , |
|||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
выражается формулой: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0,1 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L 10 см |
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
(1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
Дифракционный максимум при дифракции на одной щели наблюдае тся при условии:
a sin 2k 1 |
, |
(2) |
2 |
|
|
где k 0,1,2,3,... - порядковый номер максимумов; a -ширина щели.
75
Для максимумов первого порядка ( k 1) угол заведомо мал, поэтому
sin , и, следовательно, формула (2) примет вид: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a 3 , |
(3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
а искомая величина x , как следует из рис. 1, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2Ltg 2L , |
(4) |
||||
так как tg . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив значение из соотношения (3) в формулу (4), получим: |
|||||||||||
x 2L |
3 |
|
3 |
L |
. |
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|||
Подстановка в последнее равенство длины волны де Бройля по форм уле |
|||||||||||
(1) даёт: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 |
L |
. |
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
am |
|
||
После вычисления по формуле (5) получим: |
|
||||||||||
x 6 |
|
3,14 1,05 10 34 0,1 |
6 10 5 (м) 60 |
(мкм). |
|||||||
10 6 |
9,11 10 31 3,65 106 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: x 60 мкм.
Задача 3.
На грань кристалла никеля (рис. 2) падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения изменяется. Когда этот угол делается равным 64 , наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционн ому максимуму первого порядка.
Принимая расстояние d |
между атомными плоскостями кристалла равным 200 |
||||||||
пм, определить длину волны де Бройля электронов и их скорость . |
|||||||||
Дано: |
|
Си: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
64 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
k 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
’ 2 |
|
d 2 10 10 м |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
? |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
d |
d sin |
d sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 2
76
К расчёту дифракции электронов от кристаллической решетки применяется то же уравнение Вульфа-Брегга, которое используется в случае рентгеновского излучения:
2d sin k ,
где d - расстояние между атомными плоскост ями кристалла;- угол скольжения;
k - порядковый номер дифракционного максимума;- длина волны де Бройля.
Очевидно, что
2d sin . k
Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим:
2 2 10 10 sin64 360 10 12 360 1
Из формулы длины волны де Бройля
2m ,
выразим скорость электрона:
2m .
Подставив в эту формулу значения произведя вычисления, найдём:
|
2 3,14 1,05 10 34 |
2 10 |
6 |
(м/с). |
|
9,11 10 31 360 10 |
12 |
|
|||
|
|
|
|
||
(пм).
, , m (масса электрона), и
Ответ: |
360 пм; |
|
2 Мм/с. |
Рекомендуемые задания для внеаудиторного рассмотрения
1. Определить длину волны де Бройля Б, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость υ = 106 м/с. Сделать такой же подсчёт для протона.
Ответ: 1) Б,е = 727 пм; 2) Б,р = 397 нм.
2. Электрон движется со скоростью υ = 2·108 м/с. Определить длину волны де Бройля Б, учитывая изменение массы электрона в зависимости от ск орости.
Ответ: Б = 2,71 пм.
77
3.Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон,
чтобы длина волны де Бройля Б была равна 0,1 нм. Ответ: U = 150 В.
4.Определить длину волны де Бройля Б электрона, если его кинетическая энергия Т = 1 кэВ.
Ответ: Б = 38,8 пм.
5. Найти длину волны де Бройля Б для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состо янии.
Ответ: Б = 333,2 пм.
6.С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля Б электрона равна его комптоновской длине волны С.
Ответ: υ = 212 Мм/с.
7.Определить длину волны де Бройля Б электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рен тгеновского
спектра приходится на длину волны = 3нм. Ответ: Б = 0,06 нм.
8. Электрон движется по окружности радиусом r 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией B 8 мТл. Определить длину волны де Бройля Б электрона.
Ответ: Б = 0,1 нм.
9. На грань некоторого кристалла под углом θ = 60 к её поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с од инаковой скоростью. Определить скорость электронов, если они испытывают интерференцио нное отражение первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм.
Ответ: υ = 2,1 Мм/с.
78
10.Параллельный |
пучок |
электронов, |
|
|
|
е |
||||
движущихся с одинаковой скоростью 1 |
|
|
|
a |
||||||
Мм/с, падает нормально на диафрагму с |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
длинной щелью шириной a 1 мкм (рис. 3). |
|
|
|
|
|
|||||
Проходя |
через |
щель, |
электроны |
L |
||||||
рассеиваются |
и |
образуют дифракционную |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
картину на экране, расположенном на |
|
|
|
|
||||||
расстоянии L = 50 см от щели и |
|
|
|
|
|
|||||
параллельном |
плоскости |
диафрагмы. |
|
|
|
|
Ltg |
|||
|
|
|
|
|||||||
Определить линейное расстояние x между |
|
|
|
x |
||||||
первыми дифракционными минимумами. |
|
|
|
Рис. 3 |
||||||
Ответ: х = 0,728 мм. |
|
|
|
|
|
|
||||
Домашнее задание
1.Составить конспект ответов на вопросы.
2.Решить следующие задачи:
1.-частица движется по окружности радиусом r 8,3 мм в однородном магнитном поле, напряжённость которого H 18,9 кА/м. Найти длину волны
де Бройля Б для -частицы. Ответ: Б = 10 пм.
2.Найти длину волны де Бройля Б для атома водорода, движущегося при температуре T 293 К со: 1) средней квадратичной скоростью; 2) средней арифметической скоростью, 3) наиболее вероятной скоростью.
Ответ: 1) λБ,кв = 147 пм; 2) λБ,ср = 160 пм; 3) λБ,в = 180(пм).
3.Найти длину волны де Бройля Б протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U: 1) 1кВ; 2) 1ГВ
Ответ: 1) λБ,кв = 906 фм; 2) λБ,ср = 732,7 ам.
4.Определите, при каком числовом значении кинетической энергии Т длина
волны де Бройля λБ электрона равна его комптоновской длине волны. Ответ: Т = 211,7 кэВ.
79
5. Определить длину волны де Бройля λБ электрона, находящегося на второй орбите атома водорода.
Ответ: Б = 666,4 пм.
80