Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

glava5

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
445.13 Кб
Скачать

§ 25

Опытное обоснование молекулярно-кинетической теории

1. Броуновское движение. Шотландский ботаник Р.Броун (1773–1858), на-

блюдая под микроскопом взвесь цветочной пыльцы в воде, обнаружил, что части-

цы пыльцы оживленно и беспорядочно двигались, то вращаясь, то перемещаясь с места на место, подобно пылинкам в солнечном луче. Впоследствии оказалось,

что подобное сложное зигзагообразное движение характерно для любых частиц малых размеров (~1 мкм), взвешенных в газе или жидкости. Интенсивность этого движения, называемого броуновским, повышается с ростом температуры среды,

с уменьшением вязкости и размеров частиц. Причина броуновского движения долго оставалась неясной. Лишь через 80 лет после обнаружения этого эффекта ему было дано объяснение: броуновское движение взвешенных частиц вызывает-

ся ударами молекул среды, в которой частицы взвешены. Так как молекулы дви-

жутся хаотически, то броуновские частицы получают толчки с разных сторон, по-

этому и совершают движения столь причудливой формы. Таким образом, бро-

уновское движение является подтверждением выводов молекулярно-

кинетической теории о хаотическом тепловом движении атомов и молекул.

2. Опыт Штерна. Первое экспериментальное определение скоростей молекул выполнено немецким физиком О. Штерном (1888–1970). Его опыты позволя-

ют также оценить распределение молекул по ско-

ростям. Схема установки Штерна представлена на рисунке. Вдоль оси внутреннего цилиндра с щелью

натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая нагревается током при откачанном воздухе. При нагревании серебро испаряется. Атомы се-

ребра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилин-

дра, давая изображение щели О. Если прибор привести во вращение вокруг общей оси цилиндров, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние s. Изображение щели получится размытым. Исследуя

толщину осажденного слоя, можно оценить распределение молекул по скоростям,

которое соответствует максвелловскому распределению.

Зная радиус цилиндров r и R , а также их угловую скорость вращения ω, и

измеряя s, можно вычислить скорость движения атомов серебра при данной тем-

пературе

t =

s

=

R r

– время движения молекул между цилиндрами,

ωR

 

 

 

v

v = ωR R r . s

Результаты опытов показывают, что скорость атомов серебра близка к той, кото-

рая следует из максвелловского распределения молекул по скоростям. 3. Опыт Ламмерта. Этот опыт позво-

ляет более точно определить закон распреде-

ления молекул по скоростям. Схема вакуумной установки представлена на рисунке. Молекулярный пучок, сформиро-

ванный источником, проходя через щель,

попадает в приемник. Между источником и приемником помещают два диска с прорезями, закрепленных на общей оси. При неподвижных дисках молекулы дос-

тигают приемника, проходя через прорези в обоих дисках. Если ось привести во вращение, то приемника достигнут только те прошедшие прорезь в первом диске молекулы, которые затрачивают для пробега между дисками время, равное или кратное времени оборота диска. Другие же молекулы задерживаются вторым дис-

ком. Меняя угловую скорость вращения дисков и измеряя число молекул, попа-

дающих в приемник, можно выявить закон распределения скоростей молекул.

Этот опыт также подтвердил справедливость максвелловского распределения мо-

лекул по скоростям.

4. Опытное определение постоянной Авогадро. Воспользовавшись рас-

пределением молекул по высоте, французский ученый Ж. Перрен (1870–1942)

экспериментально определил постоянную Авогадро. Исследуя под микроскопом

броуновское движение, он убедился, что броуновские частицы распределяются по высоте подобно молекулам газа в поле тяготения. Применив к ним больцманов-

ское распределение, можно записать

n = n0 e−(mm1 )ghkT ,

где m

масса частицы, m1 – масса вытесненной ею жидкости: m = 4πρr3 3 ,

m = 4πρ r3

3 ( r – радиус частицы, ρ – плотность частицы, ρ1 – плотность жид-

1

1

 

кости).

Если n1 и n2 – концентрации частиц на уровнях h1 и h2 , а k = RNA , то

NA =

3RT ln(n1 n2 )

 

 

 

.

r3 (ρ −ρ )g(h

2

h )

 

1

1

 

Значение NA , получаемое из работ Ж.Перрена, соответствовало значениям,

полученным в других опытах, что подтверждает применимость к броуновским частицам распределения Больцмана.

§ 26

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

Расстояние между двумя последовательными столкновениями молекулы l, назы-

вается длиной свободного пробега.

Эффективный диаметр молекулы d это минимальное расстояние, на которое могут сближаться центры двух молекул в результате столкновения.

Средняя длина свободного пробега молекул равна

< l >= < v >< z >,

где < v > –

средняя арифметическая

скорость, < z > –

среднее число столкнове-

ний, испытываемых одной молекулой газа

за 1 с.

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломано-

го» цилиндра

< z >= nV ,

где n – концентрация молекул, V = pd2 < v > . Таким образом, среднее число

столкновений

< z >= npd2 < v > .

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул

< z >= 2pd2 n < v > .

Тогда средняя длина свободного пробега равна

< l >=

 

1

.

 

 

 

 

 

2pd2n

Задача 1. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода при тем-

пературе 280 К и давлении 0,1 МПа равна 190 нм. Найдите эффективный диаметр молекулы кислорода.

Дано:

 

 

 

СИ

 

 

 

 

 

 

Решение

T = 280 К

 

 

 

 

 

 

 

Средняя длина свободного пробега молекул оп-

p = 0,1 МПа

 

105 Па

ределяется выражением

l = 190 нм

 

1,9×10–7 м

< l >=

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2pd2n

d = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где n

концентрацию молекул газа определим из фор-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мулы

p = nkT . Тогда уравнение для средней длины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свободного пробега имеет вид

 

 

 

 

 

 

< l >=

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2pd2p

 

 

 

 

 

 

 

где k = 1,38×10−23 Дж/К –

постоянная Больцмана. Из полученного равенства выра-

зим эффективный диаметр молекулы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d =

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2pp l

 

 

 

 

 

 

 

В полученную формулу подставим числовые значения

 

 

 

 

 

 

d =

 

 

1,38 ×10−23 Дж/К×280 К

= 2,1×10−10 м = 210 пм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ×3,14 ×105 Па×1,9 ×10−7 м

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул кислорода будет равна 1 мм, если при нормальном давлении она равна 50 нм?

Температура постоянна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

СИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

l

 

= 1 мм

10–3 м

 

 

Средняя длина свободного пробега молекул опре-

l

 

= 50 нм

5 10–8

м

деляется выражением

 

0

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0 = 105 Па

 

 

 

 

 

< l >=

 

1

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2pd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

p = ?

 

 

 

 

 

где n

концентрацию молекул газа определим из форм-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мулы

p = nkT .

 

Тогда уравнение для средней длины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свободного пробега имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< l >=

 

 

kT

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2pd2p

 

 

 

 

 

 

 

 

где k = 1,38×1023 Дж/К – постоянная Больцмана, d – эффективный диаметр мо-

лекулы. Запишем, по аналогии, выражение для средней длины свободного пробе-

га молекулы при нормальных условиях

< l0

>=

 

kT0

.

 

 

 

2p0

2pd

 

 

 

 

Найдем отношение этих формул с учетом того, что T = T0

l = p0 . l0 p

Из полученного равенства выразим давление

p = p0 l0 l

и подставим числовые значения

p = 105 Па× 5 ×108 м = 5 Па . 103 м

Задача 3. Средняя длина свободного пробега молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 35 нм. Найдите число соударений, которые ис-

пытывает молекула в 1 с. Молярная масса углекислого газа равна 0,044 кг/моль.

Дано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СИ

 

 

 

 

 

 

 

Решение

l = 35 нм

 

 

 

 

 

 

 

3,5×10–8

м

 

Средняя длина свободного пробега молекул

M = 0,044 кг/моль

 

 

 

 

 

 

 

и среднее число соударений в единицу времени

T = 273 К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

связаны между собой соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

z = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

v

– средняя арифметическая скорость моле-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кул газа, которая равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v =

8RT

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим эту формулу в первое равенство, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

1

 

 

 

8RT

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

pM

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки числовых значений получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

 

 

1

 

 

 

 

 

×

 

8 ×8,31 Дж/(моль× К) × 273 К

 

= 1010 с1 .

3,5 ×108

 

 

 

 

 

м

3,14 ×0,044 кг/моль

 

 

 

Задача 4. Сколько столкновений за одну секунду испытывает молекула не-

она при температуре 400 К и давлении 133 Па, если ее эффективный диаметр 204

пм? Молярная масса неона равна 0,004 кг/моль.

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

СИ

 

 

 

Решение

d = 204 пм

2,04×10–10 м

Среднее число соударений молекулы в

T = 400 К

 

единицу времени определяется соотношением

p =133 Па

 

z

=

v

,

 

 

M = 0,004 кг/моль

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

z = ?

 

где v

средняя арифметическая скорость,

 

 

 

 

 

 

l – средняя длина свободного пробега молекул газа, которые, соответственно,

равны

v =

8RT

и < l >=

 

 

1

.

 

 

 

 

 

pM

2pd2n

Подставим эти выражения в первую формулу

z = 2pd2n 8RT = d2n 4pRT , pM M

где n – концентрация молекул, которую выразим из равенства p = nkT и учтем,

что постоянная Больцмана и универсальная газовая постоянная связаны между собой формулой R = kNA . С учетом этого преобразуем выражение для z

z = d2

p

 

 

4pkNAT

 

= 2pd2

 

pNA

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

M

MkT

 

 

 

 

Подставим числовые значения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = 2 ×133 Па×(2,04 ×10−10 м)2 ×

 

 

3,14 ×6,02 ×1023 моль

−1

= 3,2 ×106 с−1 .

0,004 кг/моль×1,38×10−23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дж/К× 400 К

§ 27

Явления переноса в термодинамически неравновесных системах

Особые необратимые процессы в результате которых происходит пространствен-

ный перенос энергии, массы, импульса, называются явлениями переноса.

К явлениям переноса относятся:

1)теплопроводность (обусловлена переносом энергии);

2)диффузия (обусловлена переносом массы);

3)внутреннее трение (обусловленное переносом импульса).

1.Теплопроводность. Перенос энергии в форме теплоты подчиняется за-

кону Фурье

j

 

= −λ

dT

,

(27.1)

Q

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

где jQ

плотность теплового потока

величина, определяемая энергией, пере-

носимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, пер-

пендикулярную оси X; λ – теплопроводность (коэффициент теплопроводности); dTdx – градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины вдоль оси X в направлении нормали к этой площадке.

Теплопроводность λ числено равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице.

Можно показать, что

λ =

1

c

 

ρ < v >< l > ,

(27.2)

 

V

3

 

 

где cV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, ρ –

плотность газа.

2. Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит са-

мопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и твердых тел. Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика

j

 

= −D

dρ

,

(27.3)

m

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

где jm

плотность потока массы

величина определяемая массой вещества,

диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендику-

лярную оси X; D – диффузия (коэффициент диффузии); dρdx – градиент плот-

ности, равный скорости изменения плотности на единицу длины вдоль оси X в

направлении нормали к этой площадке.

Диффузия D числено равна плотности потока массы при градиенте плотности,

равном единице.

D =

1

 

< v >< l >.

(27.4)

 

3

 

 

 

 

3. Внутреннее трение (вязкость). Сила внутреннего трения между двумя

слоями газа или жидкости подчиняется закону Ньютона

 

 

dv

 

 

 

F = η

 

 

S ,

(27.5)

dx

 

 

 

 

 

где η – динамическая вязкость (вязкость); dvdx – градиент скорости, показы-

вающий быстроту изменения скорости в направлении оси X, перпендикулярном направлению движения слоев; S – площадь, на которую действует сила F .

Взаимодействие двух слоев можно представить как процесс передачи им-

пульса от одного слоя к другому в единицу времени. Тогда выражение (27.5) мож-

но представить в виде

jp

= -h

dv

,

(27.6)

 

 

 

dx

 

где jp плотность потока импульса величина определяемая полным импуль-

сом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси X через единичную площадку, перпендикулярную этой оси; dvdx – градиент скорости.

Динамическая вязкость h числено равна плотности потока импульса при гради-

енте скорости, равном единице.

h =

1

r < v >< l > .

(27.7)

 

3

 

Из формул (27.2), (27.4) и (27.7) вытекает взаимосвязь между теплопровод-

ностью, диффузией и динамической вязкостью

h = rDl hc = .

V 1

Задача 1. Определите среднее число столкновений молекул кислорода за секунду при нормальных условиях, если коэффициент вязкости кислорода при

этих условиях 2,0×10–5 Па×с.

 

 

 

Дано:

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

p = 105 Па

 

 

 

Среднее число столкновений молекулы за единицу

h = 2,0 ×10−5 Па × с

времени определяется выражением

 

 

 

 

 

 

=

v

 

z = ?

 

 

 

z

,

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где v

средняя арифметическая скорость молекул, равная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v =

8RT

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pM

 

 

 

 

l – средняя длина свободного пробега молекул, для определения которой запи-

шем формулу для коэффициента вязкости газа

h = 1 r < v >< l > , 3

где r – плотность газа. Выразим отсюда l

l = . ρv

Подставим выражения для l и v в формулу для z

z =

v ρ v

=

ρ v 2

=

ρ

 

8RT

.

 

 

 

 

 

3η πM

Плотность газа выразим из уравнения Клапейрона-Менделеева

pV = m RT , откуда ρ = m = pM . M V RT

Подставим выражение для плотности в формулу для z

= pM 8RT = 8p z 3hRT pM 3ph .

Подставим числовые значения

z =

8 ×105 Па

= 4,2 ×109 с−1 .

3×3,14 ×2,0 ×10−5 Па×с

Задача 2. Найдите коэффициент теплопроводности воздуха при нормаль-

ных условиях. Эффективный диаметр молекулы воздуха 0,30 нм.

Дано:

СИ

 

 

 

 

Решение

d = 0,30 нм

3×10–10 м

Коэффициент теплопроводности газа опре-

T = 273 К

 

деляется по формуле

M = 0,029 кг/моль

 

l =

1

c

 

r < v >< l > ,

 

 

 

V

i = 5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где cV – удельная теплоемкость газа при постоян-

λ = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]