Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

glava05

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
863.36 Кб
Скачать

Глава 5

Электромагнитная индукция

§ 45

Явления электромагнитной индукции

В 1831 г. М. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции, ко-

торое заключается в следующем:

В замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции,

охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший назва-

ние индукционного.

Рассмотрим опыты Фарадея, с помощью которых было обнаружено явление электромагнитной индукции.

Опыт № 1:

-направления отклонения стрелки в момент вдвигания и выдвигания магнита противопо-

ложны;

-отклонения стрелки гальванометра тем больше, чем больше скорость дви-

жения магнита относительно катушки;

-при изменении полюсов магнита направление отклонения стрелки изменя-

ется.

Опыт № 2:

-отклонения стрелки гальванометра наблюда-

ется в момент включения или выключения тока, в момент его увеличения или уменьшения или при перемещении катушек друг относи-

тельно друга;

-направления отклонения стрелки гальванометра также противоположны при включении или выключении тока, его увеличении или уменьшении,

сближении и удалении катушек.

Вывод № 1: Индукционный ток возникает всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции (например, при повороте в однородном магнитном поле проводящего контура).

Вывод №2: Значение индукционного тока совершенно не зависит от способа из-

менения потока магнитной индукции, а определяется лишь скоростью его изме-

нения.

Значения открытия Фарадея:

1.Была доказана возможность получения электрического тока с помощью магнитного поля.

2.Была установлена взаимосвязь между электрическими и магнитными явле-

ниями, что послужило дальнейшим толчком для разработки теории элек-

тромагнитного поля.

§ 46

Закон Фарадея и его вывод из закона сохранения энергии

Возникновение в контуре индукционного тока, при изменении потока маг-

нитной индукции, указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называе-

мой электродвижущей силой электромагнитной индукции.

εI ~ DΦ .

DT

Закон электромагнитной индукции Фарадея: каковы бы ни были причины из-

менения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре Э.Д.С равна

ε = −

DΦ

,

(46.1)

I

DT

 

знак минус в (46.1) является математическим выражением правила Ленца, выве-

денного в 1833 г.

Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление,

что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока,

вызвавшего этот индукционный ток.

Г. Гельмгольц впервые вывел закон Фарадея из закона сохранения энергии. Сила Ампера над свободным проводником с током в магнитном поле производит работу

DA = IDΦ.

Если сопротивление проводника R , то работа источника тока за время DT , равная εIDT , будет складываться из джоулева тепла I2RDT и DA

εIDT = I2RDT + IDΦ,

откуда

I =

1

 

ε −

DΦ

 

 

 

,

 

 

 

R

 

DT

где εI = − DΦ есть не что иное, как закон Фарадея.

DT

Закон Фарадея: Э.Д.С электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по закону скорости изменения магнитного потока сквозь по-

верхность, ограниченную этим контуром.

[εI ]=1 В = Вб .

с

Причиной возникновения Э.Д.С., по Максвеллу, является всякое перемен-

ное магнитное поле, возбуждающее в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в провод-

нике.

Циркуляция вектора EB по произвольному замкнутому контуру L представляет собой εI

 

R R

 

DΦ

 

 

εI

= EBDL

= −

.

(46.2)

 

 

L

 

DT

 

 

 

 

 

 

Задача. Плоская рамка площадью 50 см2 расположена в магнитном поле так, что ее плоскость составляет с направлением поля угол 30°. Индукция магнитного по-

ля меняется со временем по закону B = 0,1T2 (Тл). Определите величину ЭДС ин-

дукции в рамке в момент времени 1 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

СИ

 

 

 

Решение

 

S = 50 см2

0,005 м2

Величина ЭДС

индукции в

ϕ = 30°

 

рамке

определяется

по закону

B = 0,1T2

 

Фарадея

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DΦ

 

 

 

T =1 с

 

εI

=

 

.

 

 

DT

 

 

 

 

 

 

 

 

εI = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По условию задачи индукция магнитного поля изменяется со временем, а значит, и магнитный поток тоже будет изменяться. Найдем закон изменения магнитного потока, для этого воспользуемся формулой

Φ = BS cos α,

где α = 90°−ϕ – угол между нормалью к плоскости контура N и вектором маг-

нитной индукции B. Подставим в формулу для магнитного потока выражение для индукции магнитного поля, получим

F = 0,1T2Scos(90° - j) = 0,1T2Ssin j.

Полученное равенство подставим в закон Фарадея

eI

=

-

D(0,1T2Ssin j)

 

= 0,1Ssin j

D(T

2 )

= 0,2ST sin j .

DT

 

DT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В полученное выражение подставим числовые значения

eI = 0,2 ×0,005 ×1×sin 30° = 5 ×104 В = 0,5 мВ.

§ 47

Вращение рамки в магнитном поле

Предположим

что

B = CONST ,

ω= CONST . Магнитный поток, сцепленный

срамкой площадью S , в любой момент времени T равен

Φ = BNS = BScos α = BScos ωT ,

где α = ωT – угол поворота рамки в момент времени T (пусть при T = 0 α = 0 ).

При вращении рамки в ней будет возникать переменное Э.Д.С. индукции

ε = −

DΦ

= BSωsin ωT ,

(47.1)

I

DT

 

изменяющаяся со временем по гармоническому закону. Амплитудное значение Э.Д.С. равно

εmax = BSω .

(47.2)

Учитывая (47.2), выражение (47.1) можно записать в виде

εI = εmax sin ωT .

Таким образом, если в однородном магнитном поле равномерно вращается рамка,

то в ней возникает переменная Э.Д.С., изменяющаяся по гармоническому закону.

§ 48

Вихревые токи (Токи Фуко)

Токи, возникающие в массивных сплошных проводниках и оказывающиеся замк-

нутыми в толще проводника, называются вихревыми или токами Фуко.

Токи Фуко, как и индукционные токи в линейных проводниках, подчиняются правилу Ленца: их магнитное поле направлено так, чтобы противодействовать измене-

нию магнитного потока, индуцирующего вихревые токи.

Например, если между полюсами не включенного электро-

магнита массивный медный маятник совершает практиче-

ски незатухающие колебания, то при включении тока он испытывает сильное

торможение и очень быстро останавливается. Это объясняется тем,

что возникшие токи Фуко имеют такое направление, что действующие на них со стороны магнитного поля

силы тормозят движение маятника. Этот факт используется для успокоения

(демпфирования) подвижных частей различных приборов. Если в описанном маятнике сделать радиальные вырезы, то вихревые токи ослабляются, и торможе-

ние почти отсутствует.

Вихревые токи помимо торможения (как правило, нежелательного эффекта)

вызывают нагревание проводников. Поэтому для уменьшения потерь на нагрева-

ние якоря генераторов и сердечники трансформаторов делают не сплошным; а из-

готовляют из тонких пластин, отделенных одна от другой слоями изолятора и ус-

танавливают их так, чтобы вихревые токи были направлены поперек пластин.

Джоулева теплота, выделяемая токами Фуко, используется в индукционных

металлургических печах. Индукционная печь представляет собой тигель, поме-

щаемый внутрь катушки, в которой пропускается ток высокой частоты. В металле возникают интенсивные вихревые токи, способные разогреть его до плавления.

Такой способ позволяет плавить металлы в вакууме, в результате чего получаются сверхчистые материалы.

Вихревые токи возникают и в проводах, по которым течет переменный ток Направление этих токов можно определить по правилу Ленца. На рисунке показаны направления вихревых токов при возрастании и убывании первичного тока в проводнике. В обоих случаях направление вихревых токов таково, что они противодействуют

изменению первичного тока внутри проводника и способствуют его изменению вблизи поверхности. Таким образом, вследствие возникновения вихревых токов быстропеременный ток оказывается распределенным по сечению проводника не-

равномерно – он как бы вытесняется на поверхность проводника. Это явление по-

лучило название скин-эффекта или поверхностного эффекта. Так как токи высо-

кой частоты практически текут в тонком поверхностном слое, то провода для них делаются полыми.

Если сплошные проводники нагревать токами высокой частоты, то в результате скин-эффекта происходит нагревание только их поверхностного слоя. На этом ос-

нован метод поверхностной закалки металлов. Меняя частоту поля, он позво-

ляет производить закалку на любой требуемой глубине.

§ 49

Индуктивность контура. Самоиндукция

Электрический ток, текущий по замкнутому контуру, создает вокруг себя магнитное поле, пропорциональное току. Сцепленный с контуром магнитный по-

ток Φ пропорционален току I в контуре

Φ = LI ,

(49.1)

где L индуктивность контура.

Потокосцепление соленоида, по которому течет ток силой I , определяется выражением

Ψ = LI ,

где L индуктивность соленоида.

[L]=1 Гн =1 Вб .

А

Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Полный маг-

нитный поток через соленоид (потокосцепление) равен

Ψ = μ0μ N2I S,

L

подставив это выражение в формулу (49.1), получим

L = μ0μ

N2S

.

(49.2)

 

 

L

 

Возникновение Э.Д.С. индукции в проводящем контуре при изменении в нем си-

лы тока называется самоиндукцией.

εS

= −

DΦ

= −

D

(LI)= − L

DI

+ I

DL

.

DT

DT

DT

 

 

 

 

 

 

DT

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется,

то L = CONST и

ε = −L

DI

,

(49.3)

S

DT

 

где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие ин-

дуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Задача 1. Через катушку радиуса 1 см, содержащую 1000 витков, течет ток 1 А.

Найдите индуктивность L катушки, если индукция магнитного поля внутри нее

0,02 Тл.

Дано:

СИ

 

 

Решение

R =1 см

0,01 м

Способ 1. Индуктивность катушки определим по формуле

N =1000

 

 

2

 

 

L = μ0

N S

,

 

 

I =1 А

 

L

 

 

 

B = 0,02 Тл

 

где S = πR2

площадь поперечного сечения катушки, L – ее

 

 

длина, для определения которой воспользуемся выражением

L = ?

 

 

 

для индукции магнитного поля внутри соленоида

 

 

B = μ0NI .

L

Выразим из этой формулы длину катушки

L = μ0NI

B

и подставим в выражение для индуктивности

L = μ

 

N2SB

=

NBS

.

0

μ0NI

 

 

 

I

Способ 2. Потокосцепление катушки, по которой течет ток, определяется по фор-

муле

Ψ= LI .

Сдругой стороны, его можно выразить через магнитный поток F, пронизываю-

щий поперечное сечение катушки

Ψ = NΦ,

где Φ = BS . Так как левые части двух выражений равны, то можем приравнять и

правые части

LI = NΦ = NBS .

Отсюда выразим индуктивность катушки

L = NBS .

I

Видно, что обоими способами получили одно и то же выражение для ин-

дуктивности катушки. Подставим в него выражение для площади поперечного се-

чения

L = NBpR2 .

I

В полученную формулу подставим числовые значения

L = 1000 ×0,02 Тл×3,14 ×(0,01 м)2 = 6,28 ×103 Гн = 6,28 мГн. 1 А

Задача 2. Индуктивность соленоида с однослойной обмоткой 3 мГн. Диаметр корпуса соленоида 5 см, диаметр проволоки обмотки 0,5 мм. Витки плотно приле-

гают друг к другу. Определите число витков обмотки.

Дано:

СИ

 

Решение

L = 3 мГн

0,003 Гн

Индуктивность соленоида

D = 5 см

0,05 м

определяется по формуле

D = 0,5 мм

–4

 

2

 

5×10 м

L = m0

 

N S

,

 

 

 

 

 

 

N = ?

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

где S =

πD2

– площадь поперечного сечения соленоида, L = ND – его длина. С

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

учетом этих выражений, индуктивность соленоида равна

L = m0

N2pD2

=

pm0ND2

.

 

4ND

4D

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразим отсюда число витков обмотки

 

N =

 

4LD

.

 

 

 

 

 

πμ0D2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим числовые значения

 

 

N =

 

 

4 ×0,003 Гн×5 ×10−4 м

= 610 .

 

3,14 ×4 ×3,14 ×10−7 Гн/м×(0,05 м)2

Задача 3. Соленоид индуктивностью 5 мГн содержит 1000 витков. Ток в обмотке

10 А. Определите магнитный поток через один виток.

Дано:

СИ

Решение

L = 5 мГн

0,005 Гн

Потокосцепление соленоида через его индуктив-

N =1000

 

ность выражается формулой

I =10 А

 

Ψ = LI .

 

 

 

Φ = ?

 

С другой стороны его можно выразить равенством

 

 

Ψ = NΦ.

 

 

Левые части двух формул равны, можем приравнять и правые части

LI = NΦ .

Отсюда выразим магнитный поток через один виток соленоида

F = LI .

N

Подставим числовые значения

F = 0,005 Гн×10 А = 5 ×10−5 Вб = 50 мкВб . 1000

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]