Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

glava5

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
445.13 Кб
Скачать

Раздел II

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ Введение

Макроскопической называется система, образованная огромным числом микро-

частиц (молекул, атомов, ионов, электронов).

Для изучения процессов, происходящих в макроскопических системах,

применяют два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга мето-

да: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Пер-

вый лежит в основе молекулярной физики, второй – термодинамики. Молекулярная физика раздел физики, изучающий строение и свойства веще-

ства исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.

Законы поведения огромного числа молекул, являясь статистическими закономерностями, изучаются с помощью статистической физики.

Статистический метод основан на том, что свойства макроскопической сис-

темы, в конечном счете, определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями динамических характеристик этих частиц.

Термодинамика раздел физики, изучающий общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями.

Термодинамика не рассматривает микропроцессы, которые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический метод отличается от статистическо-

го. Термодинамика базируется на двух началах – фундаментальных законах, уста-

новленных в результате обобщения опытных данных.

Термодинамическая система совокупность макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими те-

лами (внешней средой).

Основа термодинамического метода – определение термодинамического со-

стояния системы, которое задается термодинамическими параметрами.

Термодинамические параметры (параметры состояния) – совокупность физи-

ческих величин, характеризующих свойства термодинамической системы.

Обычно в качестве термодинамических параметров выбирают температуру

T , давление p и объем V (удельный объем v).

Температура физическая величина, характеризующая состояние термодинами-

ческого равновесия макроскопической системы.

В Международной практической шкале температура замерзания и кипе-

ния воды при p = 1,013×105 Па соответственно 0°С и 100°С (так называемые ре-

перные точки). Термодинамическая температурная шкала определяется по од-

ной реперной точке, в качестве которой взята тройная точка воды (температура,

при которой лед, вода и насыщенный пар при p = 609 Па находятся в термодина-

мическом равновесии) Tmm = 273,16 К, T =1K = t =1°C . Температура замерза-

ния воды равна T = 273,15 К.

T= 273,15 + t .

ВСША применяется температурная шкала Фаренгейта. По ней температура

замерзания воды – tз

= 0°C = 32°F , а температура кипения – tк =100°C = 212°F .

Удельный объем v

это объем единицы массы вещества.

v =

V

=

1

.

 

 

 

 

 

m r

 

Любое изменение термодинамической системы, связанное с изменением хотя бы одного из ее термодинамических параметров, называется термодинамическим процессом.

Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не изменяется.

Глава 5 Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

§ 20

Опытные законы идеального газа Идеальный газ это идеализированная модель, согласно которой: 1) собствен-

ный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда; 2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия; 3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Закон Бойля-Мариотта. Для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная.

pV = const ,

(20.1)

при T = const и m = const . Процесс, проходящий при T = const , называется изотермическим. Кривые,

изображающие зависимость между величинами p и V , характеризующими свой-

ства вещества при постоянной температуре, называются изотермами. Закон Гей-Люссака. Отношение объема данной массы газа при постоянном давлении к его термодинамиче-

ской температуре есть величина постоянная.

V

= const ,

(20.2)

 

T

 

при p = const и m = const . Процесс, протекающий при

постоянном давлении, называется изобарным. Прямая, изображающая этот про-

цесс – изобарой.

Закон Шарля. Отношение давления данной массы газа при постоянном объеме к его термодинамической температуре есть величина постоянная.

p

= const ,

(20.3)

 

T

при V = const и m = const . Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорным. Прямая изображающая этот процесс – изохорой.

Закон Авогадро. Моли любых газов при одинаковой температуре и давлении за-

нимают одинаковые объемы.

При нормальных условиях V0m = 22,41×10−3 м3моль. По определению, в

одном моле различных веществ содержится одно и тоже число молекул, которое называется числом Авогадро

NA = 6,022 ×1023 моль-1 .

Закон Дальтона. Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов

n

p= p1 + p2 +... + pn = pi ,

i=1

где p1 , p2 , …, pn парциальные давления давления, которые оказывали бы газы смеси, если бы они одни занимали объем, равный объему смеси при той же температуре.

§ 21

Уравнение Клапейрона– Менделеева

Между параметрами p , V и T , определяющими состояние некоторой мас-

сы газа, существует определенная связь, называемая уравнением состояния, ко-

торое в общем виде задается выражением f(p, V,T) = 0 ,

где каждая из переменных является функцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Клапейрон

 

(1799–1864) вывел уравнение состояния идеального газа.

 

В соответствии с газовыми законами запишем

 

p1V1 = p1V2 ,

(21.1)

p2 = T1 T2 .

(21.2)

p1

Исключив из уравнений (21.1) и (21.2) p′ , получим

1

p1V1 = p2 V2 . T1 T2

Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pVT – остается постоянной, т.е.

pV T = B = const .

(21.3)

Выражение (52.3) является уравнением Клапейрона, в котором B

газовая по-

стоянная, различная для разных газов.

 

Д.И. Менделеев (1834–1907) объединил уравнение Клапейрона с законом

Авогадро, отнеся уравнение (52.3) к одному молю, и использовав молярный объ-

ем Vm . Из закона Авогадро следует, что B будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная R и называется молярной газовой постоянной.

Уравнению

pVm = RT

(21.4)

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния иде-

ального газа, называемое так же уравнением Клапейрона– Менделеева.

pV = νRT ,

(21.5)

где R = 8,31 Дж/(моль×К), ν = mM – количество вещества, V = νVm – объем газа,

M – молярная масса.

p = RT = kNAT = nkT , Vm Vm

где k = R N

A

=1,38 ×10−23

Дж/К –

постоянная Больцмана, n = N

A

V – концентра-

 

 

 

 

m

ция молекул.

 

 

 

 

 

p = nkT

 

 

 

(21.6)

Число молекул в 1 м3 газа при нормальных условиях называется числом

Лошмидта.

NL = p0 kT0 = 2,68 ×1025 м-3 .

Задача 1. В колбе вместимостью 300 см3 находится газ при температуре 280

К и давлении 40 кПа. Определите количество вещества газа (число молей) и число

его молекул.

 

 

 

 

 

Дано:

СИ

Решение

V = 300 см3

3×104 м3

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для

T = 280 К

 

состояния идеального газа

p = 40 кПа

4 ×104 Па

pV = νRT ,

 

 

где R = 8,31 Дж/(моль×К) – универсальная газовая по-

ν = ? N = ?

 

 

стоянная. Выразим отсюда количество вещества

 

 

 

 

 

n = pV .

RT

Подставим числовые значения

 

4 ×104

Па×3×10-4

м3

n =

 

 

 

» 0,005 моль.

8,31 Дж/(моль×К) ×

 

 

280 К

Количество молекул найдем по формуле

N = νNA ,

где NA = 6,02 ×1023 моль-1 – число Авогадро. Подставим числовые значения

N = 0,005 моль×6,02 ×1023 моль1 = 3,1×1021 .

Задача 2. Определите плотность воздуха при температуре 290 К. Давление

воздуха равно 95 кПа, молярная масса – 29 г/моль.

Дано:

СИ

 

 

Решение

T = 290 К

 

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для

p = 95 кПа

9,5 ×104 Па

состояния идеального газа

M = 29 г/моль

0,029 кг/моль

pV =

m

RT ,

 

 

 

 

 

M

ρ = ?

 

 

 

где R = 8,31 Дж/(моль×К) – универсальная газовая

 

 

 

 

постоянная, m и V – масса и объем газа, соот-

 

 

ветственно. Разделим обе части уравнения на объем

p = m RT VM

и, учитывая, что mV = ρ плотность газа, выразим ее из уравнения

r = pM .

RT

Подставив числовые значения, получим

r = 9,5 ×104 Па×0,029 кг/моль = 1,14 кг/м3 . 8,31 Дж/(моль× К) × 290 К

Задача 3. Найдите массу воздуха, заполняющего аудиторию высотой 3,5 м

и площадью пола 150 м2. Давление воздуха 101 кПа, температура в помещении

300 К. Молярная масса воздуха 0,029 кг/моль.

Дано:

 

 

 

 

СИ

 

 

 

Решение

h = 3,5 м

 

 

 

 

 

 

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для

S = 150 м2

 

 

 

 

 

 

состояния идеального газа

p = 101кПа

 

1,01×105 Па

pV =

m

RT ,

 

 

 

M = 0,029 кг/моль

 

 

 

 

M

 

 

 

 

где R = 8,31 Дж/(моль×К) – универсальная газо-

T = 300 К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вая постоянная, V = Sh – объем воздуха.

 

 

 

 

 

 

 

m = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразим из уравнения массу воздуха

 

 

 

 

 

 

 

m =

pMV

=

pMSh

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RT

 

RT

 

 

 

 

Подставим числовые значения в полученное равенство

m =

1,01×105

Па×0,029 кг/моль×150 м2 ×3,5 м

» 617 кг .

 

 

8,31 Дж/(моль×К) ×300 К

 

 

 

 

§ 22

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рас-

смотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что:

1)молекулы газа движутся хаотически;

2)число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда;

3)соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие.

Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку S и вычислим давление, оказываемое на эту

площадку.

m0v (m0v) = 2m0v – импульс получаемый стен-

кой при каждом соударении молекулы, движущихся перпендикулярно площадке

S .

N = n Sv t – число молекул попадающих на площадку S за время t

( n – концентрация молекул). Из всех молекул N , находящихся в объеме Sv t ,

на площадку S движется только шестая их часть. Таким образом, при столкно-

вении с площадкой

S эти молекулы передадут ей импульс

DP = 2m0v ×

1

nDSvDt =

1

nm0v2DSDt .

 

 

6

3

Известно, что P = F t = p S t . Тогда давление, оказываемое газом на стенку

сосуда равно

p =

P

=

1

nm0v2 .

(22.1)

DSDt

 

 

3

 

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v1 , v2 , …, vN , то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

 

1

N

 

vкв =

vi2 ,

(22.2)

 

 

N i=1

 

характеризующую всю совокупность молекул газа. Тогда уравнение (22.1) с уче-

том (22.2) примет вид

p =

1

nm

 

< v2

> .

(22.3)

 

0

3

кв

 

 

 

 

 

 

Выражение (22.3)

называется основным уравнением

молекулярно-

кинетической теории идеального газа.

Учитывая, что n = NV , получим

pV =

1

Nm

 

 

< v2

>

 

 

 

(22.4)

 

0

 

 

 

 

3

 

 

кв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pV =

2

 

m

0

< v2

>

=

2

E ,

(22.5)

 

 

N

 

 

кв

 

 

3

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где E – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех моле-

кул газа. С учетом m = m0N , получим

pV = 1 m < vкв2 > . 3

Для одного моля газа m = M получим

pVm = 1 M < vкв2 > .

3

С другой стороны pVm = RT , тогда

RT = 1 M < vкв2 > ,

3

откуда

< v

 

 

>=

 

 

3RT

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(22.6)

кв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как M = m0NA , из уравнения (22.6) следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< v

 

 

>=

 

 

3RT

 

=

 

 

3kT

,

(22.7)

кв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m0NA

 

 

m0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где k = R NA

постоянная Больцмана.

 

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы

идеального газа равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ε0

>=

E

=

m

0

< v2

>

=

3

kT .

(22.8)

 

 

 

 

кв

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Найдите концентрацию молекул углекислого газа, молярная мас-

са которого равна 0,044 кг/моль, если их средняя квадратичная скорость равна 300

м/с, а давление 4×104 Па.

Дано:

 

 

 

Решение

vкв = 300 м/с

Запишем основное уравнение молекулярно-кинетической

M = 0,044 кг/моль

теории идеального газа

p = 4 ×104 Па

p =

1

nm0 vкв

2 ,

 

 

3

 

n = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где m0 – масса одной молекулы газа, которая определяется по формуле m0 = MNA . Тогда давление газа будет равно

p = 1 n M vкв 2 .

3 NA

Из полученного равенства выразим концентрацию молекул

n = 3pNA . Mvкв 2

Подставим числовые значения

n = 3× 4 ×104 Па×6,02 ×1023 моль-1 = 1,8 ×1025 м3 . 0,044 кг/моль×(300 м/с)2

Задача 2. Найдите число молекул кислорода, содержащихся в сосуде объе-

мом 3 л, если средняя квадратичная скорость движения молекул 400 м/с, а давле-

ние в сосуде 2 кПа. Молярная масса кислорода равна 0,032 кг/моль.

Дано:

СИ

 

 

 

Решение

V = 3 л

0,003 м3

Запишем основное уравнение молекулярно-

vкв = 400 м/с

 

кинетической теории идеального газа

p = 2 кПа

2 ×103 Па

p =

1

nm0 vкв

2 ,

 

M = 0,032 кг/моль

 

3

 

 

где m0 – масса одной молекулы газа, которая оп-

 

 

 

 

ределяется по формуле m0 = M NA .

N = ?

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]