glava04

Раздел II

МАГНЕТИЗМ

Глава 4

Магнитное поле

§ 33

Магнитное поле и его характеристики

Важнейшей особенностью магнитного поля является то, что оно действует

только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Характер взаимодей-

ствия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока.

При исследовании магнетического поля используется замкнутый плоский контур с током,

размеры которого малы по сравнению с расстояниями до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве характеризуется направлением нормали к контуру. В качестве положительного направления нормали принимается направление,

связанное с током правилом правого винта.

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующие действие, поворачивая его определенным образом. Вращающий момент сил, действующий на рамку с током определяется выражением

Магнитная индукция B в данной точке однородного магнитного поля опреде-

ляется максимальным вращающим моментом Mmax , действующим на рамку с магнитным моментом pm , равным единице, когда нормаль к рамке n перпенди-

кулярна направлению поля.

Так как магнитное поле является силовым, то его можно изображать с помощью

линий магнитной индукции.

Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности H .

Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с векто-

ром напряженности следующим соотношением

Задача 1. Найдите силу тока в тонком круговом витке, если радиус витка

100 мм, а его магнитный момент 0,06 А×м2.

где S = πR2 – площадь кругового витка. С учетом этого получаем

p = IπR2 .

Из этого равенства выразим силу тока

I = p .

πR2

Подставим в полученное выражение числовые значения

Задача 2. Рамка радиуса 10 см, содержащая 100 витков проволоки, нахо-

дится в магнитном поле с индукцией 0,01 Тл. По виткам течет ток 0,5 А. Опреде-

лите угол, который составляет нормаль рамки с направлением индукции магнит-

ного поля, если на рамку действует вращающий момент 13,6 мН×м.

В этой формуле S = pR2 – площадь поверхности рамки. Выражения для pm и S

подставим в формулу для вращающего момента и получим следующее равенство

M = NIpR2Bsin a .

Из полученной формулы выразим синус угла

Задача 3. Рамка с площадью поперечного сечения 50 см2 содержит 100

витков проволоки и находится в магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. По виткам течет ток 1 А. Определите максимальный вращающий момент, действующий на

рамку.

Mmax = pmB,

где величина магнитного момента pm рамки с током определяется выражением pm = NIS .

Подставим это равенство в формулу для Mmax

Mmax = NISB.

Рассчитаем числовое значение максимального вращающего момента рамки

Mmax = 100 ×1 А×0,005 м2 ×0,1 Тл = 0,05 Н×м = 50 мН×м .

1. Магнитное поле прямого тока – тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины. В

произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R , векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей.

В качестве переменной интегрирования выберем угол α, выразив через него все остальные величины. Из рисунка следует, что

(радиус дуги CD вследствие малостиdl равен r , поэтому угол FDC можно счи-

тать прямым). Подставив эти выражения в (34.2), получим, что магнитная индук-

ция, создаваемая одним элементом проводника, равна

Магнитное поле прямого тока конечной длины в точке отстоящей от проводника на расстоянии R можно найти по выражению

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Как следует

из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления – вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB

можно заменить сложением их модулей. Так как все

элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору ( sin α = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R , то,

согласно (34.2),

dB = μ0μ I dl . 4π R2

Тогда

Задача 1. По двум бесконечным параллельным проводам, находящимся на расстоянии 20 см друг от друга, текут в противоположных направлениях токи 10

С учетом направления векторов B1 и B2 получаем

B = B1 + B2 .

Величины векторов индукции магнитного

поля от каждого из проводников найдем по формуле (34.5)

Тогда суммарная величина магнитной индукции в указанной точке равна

B = μ0I1 + μ0I2 = μ0 (I1 + I2 ) .

πd πd πd

В полученное выражение подставим числовые значения

B = 4 ×3,14 ×10−7 Гн/м×(10 А +10 А) = 4 ×10−5 Тл = 40 мкТл . 3,14 ×0,2 м

Задача 2. По двум бесконечным параллельным

проводам, находящимся на расстоянии 10 см друг от друга, текут в противоположных направлениях токи 5 А

каждый. Вычислите величину магнитной индукции в точке, удаленной от обоих проводов на одинаковое расстояние 10 см.

Из условия задачи следует, что

B1 = B2

Как видно из рисунка и условия задачи, треугольник, в двух вершинах ко-

торого лежат проводники I1 и I2 , и треугольник, образованный векторами B1 , B2

и B, являются подобными и равносторонними, т.е.

Задача 3. По длинному проводу, согнутому под прямым углом, течет ток 10

А. Найдите магнитную индукцию в точке, лежащей на биссектрисе этого прямого

угла, на расстоянии 5 см от его вершины.

Для нахождения величины индукции магнитного

поля B разобьем проводник на два прямолинейных участка в точке изгиба. Тогда величина магнитной индукции может быть найдена по принципу суперпозиции

B = B1 + B2 .

Величина поля от первого участка определяется

выражением

B1 = μp0I (cos a1 - cos a2 ) , 4 r

где α1 = 0 , α2 =135° и r = asin 45° = a2 . С учетом этого получаем

Величина поля от второго участка проводника определяется формулой

B2 = μp0I (cos a3 - cos a4 ) , 4 r

где α3 = 45° и α4 = 180° . С учетом этого получаем

В результате подстановки выражений для B1 и B2 в первую формулу для

B получим

B= μ0I(2 +1) . 2πa

Вполученную формулу подставим числовые значения

B= 4 ×3,14 ×10−7 Гн/м×10 А×(2 +1) » 9,7 ×10−5 Тл = 97 мкТл .

×3,14 ×0,05 м

Задача 4. Два круговых витка расположены в двух взаимно-

перпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпадают. Радиус каждого витка 5 см, по ним текут одинаковые токи 10 A. Найдите магнитную ин-

дукцию в центре витков.

векторов определяются по правилу правого винта. Тогда суммарное магнитное поле в центре витков определим по принципу суперпозиции

B = B1 + B2 .

Величину вектора B найдем по теореме Пифагора

B = B12 + B22 ,

где величины векторов B1 и B2 определяются по формулам