glava8

Раздел III

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Глава 8

Электростатика

§ 56

Закон сохранения электрического заряда

Еще в глубокой древности было известно, что янтарь, потертый о шерсть,

притягивает легкие предметы. Английский врач Джильберт (конец XVI в.) назвал тела, способные после натирания притягивать легкие предметы, наэлектризован-

ными.

Существует два типа электрических зарядов: положительные, отрица-

тельные. Одноименные заряды – отталкиваются, разноименные – притяги-

ваются.

Опытным путём американский физик Р. Милликен показал, что электриче-

ский заряд дискретен.

Элементарный электрический заряд: e = 1,6 ×10−19 Кл;

[q]=1 Кл ;

1 Кл = 2,998 ×109 » 3 ×109 СГСЭ - единиц заряда ; e = 4,8 ×10−10 СГСЭ - единиц заряда .

При электризации тел происходит перераспределение зарядов.

Системы, не обменивающиеся зарядами с внешними телами, называются замк-

нутыми.

Закон сохранения заряда М. Фарадей (1843 г.): алгебраическая сумма электри-

ческих зарядов любой замкнутой системы остается неизменной, какие бы про-

цессы ни происходили внутри этой системы.

Проводники – вещества, в которых электрический заряд может перемещаться по всему его объему. Проводники делятся на две группы:

1. Проводники первого рода – металл (переносимые заряды – свободные элек-

троны).

2. Проводники второго рода – расплавы, растворы (заряды – ионы).

Диэлектрики – вещества, в которых практически отсутствуют свободные заряды.

Полупроводники – вещества, занимающие по электрическим свойствам проме-

жуточное положение между проводниками и диэлектриками.

§ 57

Закон Кулона

Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов

установлен в 1785 г. Ш. Кулоном .

Точечным – называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры ко-

торого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам q1 и q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними

Q = 0,2 мкКл, удаленный на r1 = 6 см от первого и на r2 = 8 см от второго заря-

дов.

и направлены так, как это показано на рисунке. Тогда суммарную силу F оп-

ределим, сложив эти два вектора

F = F1 + F2 .

Модуль вектора F найдем по теореме косинусов

следовательно, угол α = 90°. Отсюда следует, что треугольники будут прямо-

угольными, и величину силы F можно определить по теореме Пифагора

F = F12 + F22 .

В полученное равенство подставим числовые значения

§ 58

Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля

Если на заряд, внесенный в пространство, действует кулоновская сила, то в этом

пространстве существует силовое поле.

Электростатическое поле – создается неподвижными телами, оно материально,

посредствам его осуществляется взаимодействие между заряженными макроско-

пическими телами и частицами.

Напряженность электростатического поля – в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный за-

ряд, помещенный в эту точку поля

E = Fq0 ,

[E]=1 Вм =1 НКл – размерность

Линии напряженности – линии, касательные к

которым в каждой точке совпадают с направ-

лением вектора E .

Густота силовых линий характеризует вели-

чину напряженности электростатического поля

EdS cos α = EndS .

§ 59

Принцип суперпозиции электростатических полей. Поле диполя

Рассмотрим метод определения значения и направление вектора напряжен-

ности E в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой не-

подвижных зарядов q1 , q2 , ..., qN

Принципы суперпозиции можно применить для расчета электростатиче-

ского поля электрического диполя.

Электрический диполь – система двух равных по модулю разноименных точеч-

ных зарядов ( + q, −q ), расстояние l , между которыми значительно меньше расстояние до рассматриваемых точек поля.

Вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положитель-

ному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l .

Вектор R = , совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произ- l

q

p

ведению заряда q на плечо l , называется электрическим моментом диполя или

дипольным моментом.

Согласно принципу суперпозиции:

1. Напряженность поля на продолжении оси диполя

r >> l ; EA = E+ − E−

2.Напряженность на перпендикуляре, восстановленном к оси из середины диполя

Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя

и вектор EB , получим

Вектор EB имеет направление, противоположное электрическому моменту ди-

поля (вектор p направлен от отрицательного заряда к положительному).

Рассмотрим диполь, находящийся во внешнем электрическом поле. Если диполь поместить в однородное электрическое поле,

образующие диполь заряды окажутся под действием равных по величине, но

противоположных по направлению сил F1 и F2 . Тогда на диполь будет действо-

вать вращающий момент

M = qElsin α = pEsin α

или в векторном виде выражение имеет вид

= R ´

M [p E].

Момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент P

установился по направлению поля.

Рассмотрим диполь, находящийся в неоднородном электрическом поле, об-

ладающем симметрией относительно оси x . В

этом случае силы F1 и F2 уже не будут равными по величине. В случае, приведенном на рисунке, будет отлична от нуля компонента Fx

равнодействующей этих сил. Она равна

F= p ∂E cos a .

x ¶x

Задача 1. Диполь с электрическим моментом p = 10 пКл×м находится в не-

однородном электрическом поле. Степень неоднородности поля в направлении оси диполя: dEdx = 2 МВ/м2. Вычислите силу, действующую на диполь в этом направлении.

В полученное равенство подставим числовые значения

(8 ×10−9 Кл)2 + (-6 ×10−9 Кл)2

E = 4 ×3,14 ×8,85 ×10−12 Ф/м×(0,1м)2 = 9000 В/м = 9 кВ/м

§ 60

Теорема Гаусса

R

Величина dΦE = EndS = EdS называется потоком вектора

напряженности.

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность определяется вы-

ражением

SS

где интеграл берется по замкнутой поверхности S . Потом вектор E является ал-

гебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля E , но и от вы-

бора направления n . Для замкнутых поверхностей за положительное направле-

ние нормали n принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль,

направленная наружу области, охватываемой поверхностью.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить,

используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777–1855) теорему, опре-

деляющую поток вектора напряженности электрического поля через произволь-

ную замкнутую поверхность.

В соответствии с формулой (60.1) поток вектора напряженности сквозь сфе-

рическую поверхность радиуса r , охватывающую точечный заряд q , находя-

щийся в ее центре

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действи-

тельно, если окружить сферу (см. рис.) произвольной замкнутой поверхностью,

то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь неё равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность,

равно числу линий напряженности, выходящих из нее. Нечетное число пересече-

ний при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению,

так как поток считается положительным, если линия напряженности выходит из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток

сквозь нее равен нулю, т.к. число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий выходящих из нее.

Знак потока совпадает со знаком заряда q .

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей N за-

рядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность E поля, созда-

ваемого всеми зарядами, равна сумме напряженности Ei , создаваемых каждым

R N R

зарядом в отдельности: E = ∑Ei . Поэтому

i=1