Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

glava6

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
717.37 Кб
Скачать

pVγ = const .

(34.4)

Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, назы-

ваемое также уравнением Пуассона.

Для перехода к переменным T, V или p, T, исключив из (34.4) с помощью

уравнения Клапейрона-Менделеева, соответственно давление или объем

TVγ −1 = const ,

(34.5)

Tγ p1− γ = const .

(34.6)

Выражения (34.4) – (34.6) представляют собой уравнения адиабатического процесса. В этих уравнениях безразмерная величина

γ =

Cp

=

cp

=

i + 2

(34.7)

CV

cV

i

 

 

 

 

называется показателем адиабаты (коэффициентом Пуассона).

Диаграмма адиабатического процесса (адиабата)

изображена на рисунке. Вычислим работу, совершенную газом в этом процессе. Запишем уравнение (34.2) в виде

δA = −

m

C

dT .

 

 

 

 

 

 

M

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если газ адиабатически расширяется от объема V1

до V2 ,

то его температура уменьшается от T1 до T2 и работа расширения идеального газа

 

 

 

 

T2

 

A = −

m

CV dT =

m

CV (T1 T2 ) .

(34.8)

 

 

 

M

 

 

M

 

 

 

 

 

T1

 

Применяя те же приемы, что и при выводе формулы (34.5), выражение

(34.8) для работы при адиабатическом расширении можно преобразовать к виду

 

p V

 

 

V

γ −1

 

 

RT m

 

 

V

γ −1

 

A =

1 1

1

1

 

 

=

1

 

 

1

1

 

,

γ −1

 

γ −1 M

 

 

 

V

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где p1V1 = (mM)RT1 .

Процессы, в которых теплоемкость остается постоянной, называются политроп-

ными.

Исходя из I начала термодинамики при условии постоянства теплоемкости

( C = const ) можно вывести уравнение политропы

pVn = const ,

(34.9)

где n = (C Cp )(C CV ) – показатель политропы. Очевидно, что из (34.9) при

C = 0 ,

n = γ

получаем уравнение адиабаты;

C = ∞,

n =1

уравнение изотермы;

C = Cp , n = 0

уравнение изобары;

C = CV , n = ±∞ –

уравнение изохоры.

Таким образом, все рассмотренные изопроцессы являются частными слу-

чаями политропного процесса.

Задача 1. Два моля гелия, находившегося при температуре 300 К, адиабати-

чески сжали так, что его давление возросло в 8 раз. Найдите температуру газа по-

сле сжатия и работу, совершенную над газом.

Дано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

ν = 2 моля

 

 

 

 

 

Запишем уравнение адиабатического процесса через давле-

i = 3

 

 

 

ние и температуру

 

 

 

 

 

T1 = 300 К

 

 

 

 

 

Tγp1−γ

= Tγp1−γ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

 

2

 

 

 

 

p2 p1 = 8

 

Преобразуем равенство, переведя температуры в левую часть, а

 

 

 

 

давления –

 

 

 

 

 

 

 

T2 = ?

A = ?

 

в правую

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

γ

p

1−γ

p

2

γ−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

=

1

 

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

p1

 

Выразим отсюда конечную температуру

 

 

 

 

 

p

 

 

γ−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T = T

2

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где γ –

показатель адиабаты, который равен

 

γ =

i + 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

Выразим степень полученного равенства через число степеней свободы

γ −1

=

(i + 2 − i)i

=

2

g

 

i(i + 2)

i + 2

 

 

Тогда формула для конечной температуры будет иметь следующий вид

 

 

 

 

2

 

 

p

 

 

 

 

 

2

i+2

T2

 

 

 

 

 

= T1

 

.

 

p1

 

Подставим числовые значения

T2 = 300 К×82(3+2) = 698 К .

Работу, совершенную над газом в адиабатическом процессе, определим по

формуле

A = CVν(T2 T1 ) ,

где CV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, которая равна

CV = i R . 2

С учетом этого работа будет равна

A = i nR(T2 - T1 ) . 2

Подставим числовые значения

A= 3 × 2 моля×8,31 Дж/(моль× К) ×(698 К - 300 К) = 9700 Дж. 2

Задача 2. При адиабатическом сжатии 2 кг углекислого газа была затрачена работа 150 кДж. Найдите конечную температуру газа, если он в начале находился

при температуре 273 К.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

СИ

 

 

 

 

 

Решение

m = 2 кг

 

Работа адиабатического сжатия газа опре-

M = 0,044 кг/моль

 

деляется по формуле

i = 6

 

A = C

m

(T - T ) ,

 

 

 

A =150 кДж

1,5×105 Дж

 

 

V M 2 1

T1 = 300 К

 

где CV

молярная теплоемкость газа при посто-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

янном объеме, равная

T2 = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

=

i

R .

 

 

 

 

 

 

 

V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим выражение для теплоемкости в формулу для работы, получим

A = i m R(T2 - T1) . 2 M

Отсюда выразим температуру газа после сжатия

T =

2AM

+ T .

 

 

 

 

 

 

 

2

imR

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим числовые значения

 

 

 

T =

2 ×1,5 ×105 Дж×0,044 кг/моль

+ 273

К = 405

К .

 

 

2

6 × 2 кг×8,31 Дж/(моль× К)

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Некоторую массу водорода сжали в 6 раз один раз адиабатически,

другой раз изотермически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково.

Найдите отношение работы, затраченной на сжатие при адиабатическом процессе,

к соответствующей работе при изотермическом процессе.

Дано:

Решение

γ =1,4

На рисунке изображены графики двух процессов, совершае-

V1

V2 = 6

мых над газом. Процесс 1–2 соответствует адиабатическому сжа-

 

 

тию, процесс 1–3 показывает изотермическое сжатие.

A

A = ?

12

13

 

 

 

 

Работа, которая совершается над газом при адиабатическом сжатии, определяется формулой

 

m RT

 

V

 

γ−1

 

 

A =

 

 

−1 ,

 

 

 

1

 

 

1

 

 

где

M γ −1

 

 

12

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m– масса газа, M – молярная масса, R

универсальная газовая постоянная.

Работа, совершаемая над газом при изотермическом сжатии равна

 

 

=

m

 

 

V

 

A

23

 

RT ln

1

.

 

 

 

 

M

1

 

V2

 

 

 

 

 

 

 

Найдем отношение работы, затраченной на сжатие при адиабатическом процессе,

к соответствующей работе при изотермическом процессе

 

A

=

(V V )γ−1

−1

 

12

1

 

2

 

 

 

 

.

 

A

23

 

(γ −1) ln(V V )

 

 

 

 

 

1

 

2

 

Подставим числовые значения

 

A

=

(6)1,4−1 −1

=16 .

 

12

 

 

 

 

 

 

 

A23

(1,4 −1) ln 6

 

 

 

 

 

Задача 4. Двухатомный идеальный газ совершает процесс, описываемый

уравнением pV2,5

= const. Найдите молярную теплоемкость газа в этом полит-

ропном процессе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

i = 5

 

 

Запишем формулу для показателя политропы

n = 2,5

 

 

n =

C Cp

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C CV

C = ?

 

 

 

 

 

 

 

где C =

i + 2

R – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CV = i R – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. 2

Выразим из формулы для показателя политропы молярную теплоемкость газа в рассматриваемом процессе

C = nCV Cp . n -1

В полученную формулу подставим выражения для Cp и CV

C = niR - (i + 2)R = (n -1)i - 2 R. 2(n -1) 2(n -1)

Подставим числовые значения

C = (2,5 -1) ×5 - 2 ×8,31 Дж/(моль×К) = 15,2 Дж/(моль× К) . 2 ×(2,5 -1)

§ 35

Круговой процесс (цикл). Обратимые и необратимые процессы

Круговым процессом (циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное.

Работа, совершаемая газом за цикл, определяется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Если за цикл

совершается

положительная работа

A = pdV > 0

(цикл

протекает по часовой стрелке), то он называется прямым.

Если

за

цикл совершается

отрицательная

работа

A = pdV < 0

(цикл протекает против часовой стрелки), то

он называется обратным.

Прямой цикл используется в тепловых двигателях, а обратный – в холо-

дильных машинах.

Первое начало термодинамики для цикла можно записать в следующем ви-

де ( U = 0 )

Q = U + A = A .

(35.1)

Однако, в результате цикла система может теплоту, как получать, так и отдавать,

поэтому

Q = Q1 Q2 ,

где Q1 – количество теплоты, полученное системой, Q2 – количество теплоты, от-

данное системой. Поэтому термический коэффициент полезного действия для

кругового процесса

η =

A

=

Q1 Q2

= 1−

Q2

.

(35.2)

 

 

 

 

Q1

 

Q1

 

Q1

 

Термодинамический процесс называется обратимым, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс сначала происходит в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит ни-

каких изменений.

Всякий процесс, не удовлетворяющим условиям обратимого, является необрати-

мым.

Обратимые процессы – это идеализация реальных процессов.

§ 36

Энтропия, ее статистическое толкование

и связь с термодинамической вероятностью

Отношение теплоты Q, полученной телом в изотермическом процессе, к темпера-

туре T теплоотдающего тела, называется приведенным количеством теплоты.

Для любого обратимого кругового процесса

T

(36.1)

δQ = 0 .

Из равенства нулю интеграла (36.1) следует, что подынтегральное выраже-

ние δQT есть полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это со-

стояние. Таким образом,

δQ = dS .

(36.2)

T

 

Функция состояния, дифференциалом которой является δQT , называется энтро-

пией и обозначается S.

Из формулы (36.1) следует, что для обратимых процессов изменение энтро-

пии

 

DS = 0 .

(36.3)

В термодинамике доказывается, что энтропия системы, совершающей необрати-

мый цикл, возрастает

DS > 0 .

(36.4)

Выражения (36.3) и (36.4) относятся только к замкнутым системам, если

же система обменивается теплотой с внешней средой, то ее энтропия может вести себя любым образом. Соотношения (36.3) и (36.4) можно представить в виде не-

равенства Клаузиуса

DS ³ 0 ,

(36.5)

т.е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать, либо оставаться посто-

янной.

Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2,

то, согласно I начала термодинамики, изменение энтропии равно

S

= S S =

2

δQ =

2

dU + δA

.

(36.6)

 

1→2

2 1

T

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

Формула (36.6) определяет энтропию лишь с точностью до аддитивной постоян-

ной. Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий.

Исходя из выражения (36.6), найдем изменение энтропии в процессах иде-

ального газа. Так как

dU =

m

C

 

dT и δA = pdV =

m

RT

dV

, то

 

V

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

M

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1→2 = S2 S1 =

m

T2

dT

+

m

V2 dV

 

 

CV T

 

 

RV

 

,

M

T

M

V

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

или

S1→2 = S2 S1 =

m

 

T2

+ Rln

V2

 

 

 

 

 

,

(36.7)

 

CV ln

 

 

 

 

T1

V1

 

M

 

 

 

 

 

т.е. изменение энтропии

S1→2 идеального газа при переходе его из состояния 1 в

состояние 2 не зависит от вида процесса перехода 1 – 2 .

 

Так как для адиабатического процесса δQ = 0 , то

S = 0 и, следовательно,

S = const , т.е. адиабатический обратимый процесс протекает при постоянной эн-

тропии. Поэтому его часто называют изоэнтропийным процессом. Из формулы

(36.7) следует, что при изотермическом процессе (T1 = T2 )

S= m Rln V2 , M V1

при изохорном процессе ( V1 = V2 )

S= m CV ln T2 . M T1

Энтропия обладает свойством аддитивности: энтропия системы равна сум-

ме энтропий тел, входящих в систему

n

S = Si .

i=1

Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике, эн-

тропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы.

Термодинамическая вероятность W состояния системы это число способов,

которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы,

или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние ( W ³ 1).

Согласно Больцману, энтропия S системы и термодинамическая вероят-

ность связаны между собой следующим образом

S = k ln W .

(36.8)

Следовательно, энтропия может рассматриваться как мера вероятности состоя-

ния термодинамической системы.

По Больцману: энтропия является мерой неупорядоченности системы.

Все процессы в реальной замкнутой системе ведут к увеличению ее энтро-

пии принцип возрастания энтропии.

Задача 1. Найдите изменение энтропии при изотермическом расширении

азота массой 14 г от объема 20 л до объема 80 л.

Дано:

 

 

СИ

 

 

 

 

 

Решение

M = 0,028 кг/моль

 

 

 

 

Изменение

 

энтропии при изотермическом

m =14 г

 

0,014 кг

процессе определяется по формуле

V1 = 20 л

 

0,02 м3

DS =

m

Rln

V2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V2 = 80 л

 

0,08 м

3

 

M

 

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим числовые значения

S = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,08 м3

 

0,014 кг

 

 

 

 

 

DS =

 

 

 

×8,31 Дж/(моль× К) ×ln

 

 

 

 

= 5,7 Дж/К .

 

 

 

 

 

 

3

 

0,028 кг/моль

 

 

 

 

0,02 м

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Найдите приращение энтропии двух молей углекислого газа при увеличении его абсолютной температуры в 1,5 раза, если процесс нагревания изо-

хорный. Газ считать идеальным.

Дано:

 

 

 

 

 

Решение

ν = 2 моля

Изменение энтропии при изохорном процессе равно

i = 6

DS =

m

CV ln

T2

,

 

 

 

T2 T1 =1,5

 

M

 

T

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

где m M = ν

количество вещества, CV – молярная теплоемкость

S = ?

 

газа при постоянном объеме, которая определяется по формуле

 

CV = i R . 2

Подставим в формулу для изменения энтропии выражение для молярной тепло-

емкости, и отношение массы газа к молярной массе заменим на количество веще-

ства, тогда получим

DS =

i

T

 

 

 

2

 

 

 

2 nRln

T

.

 

 

 

1

 

Подставим числовые значения

DS = 6 × 2 моля×8,31 Дж/(моль× К) ×ln1,5 = 20 Дж/К.

2

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]