Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

glava6

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
717.37 Кб
Скачать

§ 33

Применение первого начала термодинамики к изопроцессам

1. Изохорный процесс ( V = const ). Диаграмма этого процесса (изохора) изображена на рисунке, где 1–2 есть изохорное нагревание, а 1–3 – изохорное охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы, т.е.

δA = pdV = 0 .

Из I начала термодинамики ( δQ = dU + δA) для изохорного процесса следует

δQ = dU =

 

m

 

C

 

 

dT.

 

 

 

(33.1)

 

M

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Изобарный процесс ( p = const ). Диаграмма этого

процесса (изобара) изображена на рисунке. При

изобарном

процессе работа газа при расширении объема от V1

до V2 рав-

на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = pdV = p(V2 V1 ) .

 

(33.2)

 

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнения Клапейрона-Менделеева для двух состояний

pV =

m

RT и pV =

m

RT

 

 

 

 

 

1

 

M

1

 

 

 

 

 

2

M

2

 

следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(V V ) =

m

 

R

(T T ) .

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

M p

2

1

 

 

 

Тогда выражение (33.2) для работы изобарного процесса имеет вид

A =

m

R(T T ) .

 

 

 

(33.3)

 

 

 

 

 

M

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В изобарном процессе из выражения (33.3) вытекает физический смысл

молярной газовой постоянной: R численно равно работе изобарного расшире-

ния 1 моля идеального газа при нагревании его на 1 К.

В изобарном процессе при сообщении газу массой m количества теплоты

δQ = m CpdT M

его внутренняя энергия возрастает на величину

dU = m CV dT . M

3. Изотермический процесс ( T = const ).

Диаграмма этого процесса (изотерма) изображена на

рисунке. Изотермический процесс описывается законом Бойля-Мариотта

pV = const. Согласно уравнения

Клапейрона-Менделеева, в изотермическом

процессе работа равна

 

 

 

 

 

 

 

V2

 

V2

 

 

 

 

 

 

 

A =

pdV =

m

 

dV

=

m

 

V2

 

=

m

 

p1

 

RT

RTln

 

RTln

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

 

V1

M V M

V1

 

 

M

p2

 

Так как при T = const внутренняя энергия идеального газа не изменяется

dU = m CV dT = 0 , M

то из I начала термодинамики следует, что для изотермического процесса

δQ = δA ,

т.е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им ра-

боты против внешних сил

Q = A =

m

RTln

p1

=

m

RTln

V2

.

(33.4)

 

 

 

 

 

M

 

p2

 

M

 

V1

 

Следовательно, для того, чтобы при расширении газа внутренняя энергия не из-

менялась (T = const ), необходимо к газу подводить эквивалентное работе коли-

чество теплоты.

Задача 1. В баллоне емкостью 2 л находится углекислый газ под давлением

3 МПа при температуре 273 К. К газу подводят 18 кДж теплоты. Определите тем-

пературу и давление газа после нагревания.

Дано:

СИ

 

 

Решение

V =1 л

0,001 м3

Количество теплоты, полученное газом при

i = 6

 

изохорном процессе, определим по формуле

p1 = 3 МПа

3×106 Па

Q = CVν(T2 T1 ) ,

T1 = 273 К

 

где n – количество вещества, C – молярная тепло-

 

 

 

 

V

Q =18 кДж

1,8×104 Дж

емкость газа при постоянном объеме, которая опре-

 

 

 

 

T2 = ? p2 = ?

 

деляется выражением

 

 

 

 

 

 

C =

i

R . Подставим это равенство в формулу

 

 

 

 

 

V

2

 

 

 

 

 

для количества теплоты

Q= i nR(T2 - T1) . 2

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начального и конечного

состояния газа

p1V = νRT1 и p2 V = νRT2 .

Из второго уравнения вычтем первое

(p2 p1)V = νR(T2 T1) .

С учетом этого равенства формула для количества теплоты примет вид

Q= i (p2 - p1)V . 2

Выразим отсюда конечное давление газа

p

 

=

 

 

2Q

+ p .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iV

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим числовые значения

 

 

p2

=

 

2 ×18000 Дж

+ 3×106

Па = 6 ×106

Па = 6 МПа .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 ×0,002 м3

 

 

Для определения температуры газа после нагревания запишем закон Шарля

 

p1

=

p2

 

 

 

 

 

 

T1

T2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и выразим отсюда температуру во втором состоянии

T2 = T1 p2 . p1

Подставим числовые значения

T2 = 273 К× 6 МПа = 546 К . 3 МПа

Задача 2. Двухатомный идеальный газ нагревают при постоянном давлении

150 кПа от температуры 200 К до температуры 400 К. Какую работу при этом со-

вершил газ, если его объем стал 20 л? Во сколько раз теплота, переданная газу,

больше изменения его внутренней энергии?

Дано:

СИ

 

 

 

 

 

Решение

i = 5

 

Работа газа при изобарном процессе определяет-

p = 150 кПа

1,5×105 Па

ся по формуле

 

T1 = 200 К

 

 

A = p(V2 V1 ) = pV2 (1− V1 V2 ) ,

T2 = 400 К

 

где V1

начальный объем газа. Запишем закон Гей-

V2 = 20 л

0,02 м3

Люссака

 

 

 

 

 

 

 

V1

 

V2

 

 

A = ?

 

 

=

.

Q U = ?

 

 

T1

T2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразим из него отношение объемов

V1 = T1

V2 T2

и подставим в формулу для работы газа

 

 

T1

 

 

-

 

 

A = pV2 1

T2

.

 

 

 

В полученное равенство подставим числовые значения

 

 

 

200 К

 

A = 1,5 ×105

Па×0,02 м3 × 1

-

 

 

= 1500 Дж .

 

 

 

 

400 К

 

Изменение внутренней энергии газа определяется по формуле

DU = i nR(T2 - T1) , 2

где ν – количество вещества, R – универсальная газовая постоянная. Количество теплоты, полученное газом в изобарном процессе, определяется выражением

Q = Cpν(T2 T1) ,

где Cp – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении, которая опреде-

ляется по формуле

Cp = i + 2 R . 2

Подставим это выражение в формулу для количества теплоты

Q = i + 2 Rν(T2 T1 ) 2

и найдем отношение количества теплоты, полученной газом, к изменению его внутренней энергии в изобарном процессе

Q = 2(i + 2)νR(T2 T1 ) = i + 2 .

U

2iνR(T2 T1 )

i

Подставим числовые значения

Q = 5 + 2 =1,4 .

U5

Задача 3. Три моля идеального газа при температуре 420 К охладит изохор-

но, вследствие чего его давление уменьшилось в 3 раза. Затем газ изобарно рас-

ширили так, что в конечном состоянии его температура стала равной первона-

чальной. Найдите полное количество теплоты, переданной газу в данных процес-

сах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

Решение

 

 

ν = 3 моля

Количество

теплоты,

отданное

T1 = 420 К

газом при изохорном охлаждении,

 

p1

= 3

определяется формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= C ν(T T ) , где C

 

p2

Q

 

 

 

12

V

2 1

V

 

T1 = T3

молярная

теплоемкость

газа

при

 

постоянном объеме, равная

 

 

Q = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CV = i R . 2

Подставим выражение для молярной теплоемкости в формулу для теплоты

Q12 = i νR(T2 T1 ) .

2

Количество теплоты, полученное газом при изобарном расширении, равно

Q23 = Cpν(T3 T2 ) ,

где Cp – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении, которая равна

Cp = i + 2 R . 2

Подставим выражение для молярной теплоемкости в формулу для количества те-

плоты и учтем, что T3 = T1

Q23 = i + 2 νR(T1 T2 ) .

2

Полное количество теплоты, переданное газу в изображенных на рисунке процессах, равно

Q = Q12 + Q23 .

Подставим соответствующие выражения вместо Q12 и Q23 , тогда получим

Q =

i

νR(T T ) +

i + 2

νR(T T ) = νR(T T ) = νRT (1− T T ) .

 

 

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для изохорного процесса запишем закон Шарля

p1 = p2 . T1 T2

Выразим отношение температур

T2 = p2

T1 p1

и подставим в формулу для количества теплоты

Q = νRT

 

p

2

 

1

 

.

 

 

1

 

 

p1

 

 

 

 

 

Подставим числовые значения

 

 

1

 

 

 

Q = 3 моля×8,31 Дж/(моль× К) × 420 К× 1

-

 

 

 

= 6980 Дж .

3

 

 

 

 

Задача 4. При изотермическом расширении 16 г кислорода, находящегося при 300 К, была совершена работа, равная 900 Дж. Во сколько раз изменилось

давление кислорода при расширении?

 

 

 

Дано:

 

СИ

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

T = const

 

 

Работа газа при изотермическом процессе

m =16 г

 

0,016 кг

определяется по формуле

M = 0,032 кг/моль

 

 

 

A =

m

RTln(p p

 

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

T = 300 К

 

 

 

 

 

M

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 900 Дж

 

 

Выразим из этой формулы отношение давлений га-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1 p2 = ?

 

 

за в начале и конце изотермического процесса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1

 

 

 

AM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e

mRT

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

Подставим в полученное равенство числовые значения

900 Дж×0,032 кг/моль

p1 = e0,016 кг×8,31 Дж/(моль×К)×300 К = 2 .

p2

Задача 5. Два моля идеального газа расширяется изотермически при темпе-

ратуре 150 К до объема втрое большего, чем первоначальный. Определите работу при расширении, изменение внутренней энергии газа и количество поглощенной

теплоты.

 

 

 

 

 

Дано:

 

Решение

T = const

Запишем первое начало термодинамики

ν = 2 моля

Q = A + DU .

 

T =150 К

При изотермическом процессе T = const и DU = 0 , тогда

V2 V1 = 3

Q = A = νRTln(V

V ) .

 

2

1

 

 

A = ? Q = ?

Подставим числовые значения

DU = ?

Q = A = 2 моля×8,31 Дж/(моль× К) ×150 К×ln 3 = 2740 Дж .

 

 

 

Задача 6. Два моля идеального одноатомного газа, занимавший объем 15 л

при давлении 150 кПа, нагревают до температуры 450 К при постоянном объеме,

а затем, изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления. Най-

дите изменение внутренней энергии, работу и количество переданной газу тепло-

ты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

СИ

 

 

 

 

 

Решение

i = 3

 

Построим

 

указанные

V =15 л

0,015 м3

процессы изменения состояния

1

 

 

 

 

 

 

 

p =150 кПа

1,5×105 Па

идеального

газа

на

рисунке.

1

 

 

 

 

 

 

 

ν = 2 моля

 

Изменение внутренней энергии

 

 

 

 

 

 

 

T2 = 450 К

 

в этих процессах равно

 

 

 

 

 

 

 

p1 = p3

 

U =

U12 +

U23 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где U12

изменение внутренней энергии в изохор-

U = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

A = ? Q = ?

 

ном процессе, оно равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DU =

i

nR(T - T ) ;

 

 

 

 

 

 

 

12

2

 

2

1

 

 

 

 

 

 

изменение внутренней энергии в изотермическом процессе равно U23 = 0 . Тогда полное изменение внутренней энергии будет равно

DU = i nR(T2 - T1) . 2

Для определения температуры газа T1 в первом состоянии запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для этого состояния

p1V1 = νRT1

и выразим из него температуру

T= p1V1 .

1nR

Сучетом этого выражение для изменения внутренней энергии имеет вид

DU =

i

nR T

-

p1V1

 

=

i

(nRT - p V ).

 

 

 

 

2 2

 

nR

2

2 1 1

Подставим числовые значения

DU = 3 ×(2 моля×8,31 Дж/(моль× К) × 450 К -1,5 ×105 Па×0,015 м3 )= 7840 Дж. 2

Работа газа в указанных процессах равна

A = A12 + A23 ,

где A12 = 0 – работа газа в изохорном процессе, работа газа в изотермическом

процессе равна

A23 = νRT2 ln(p2 p3 ) = νRT2 ln(p2 p1 ) .

Тогда суммарная работа за указанные процессы будет равна

A = νRT2 ln(p2 p1 ) .

Для определения отношения давлений запишем закон Шарля для изохорного про-

цесса и воспользуемся выражением для температуры T1

 

p1

=

p2

, откуда

p2

=

T2

= νRT2 .

 

 

 

 

 

 

T1 T2

 

p1

 

T1

p1V1

Подставим эту формулу в выражение для работы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nRT2

 

 

 

 

 

A = nRT2 ln

p1V1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим числовые значения

 

2 моля×8,31 Дж/(моль× К) × 450 К

 

A = 2 моля×8,31 Дж/(моль× К) × 450 К×ln

 

 

 

 

 

=

 

5

 

3

 

1,5 ×10

Па×0,015 м

 

 

 

 

 

.

= 8980 Дж

 

 

 

 

 

 

Для определения количества теплоты воспользуемся первым началом тер-

модинамики

Q = A + U .

Подставим числовые значения

Q = 8980 Дж + 7840 Дж =16820 Дж.

§ 34

Адиабатический процесс. Политропный процесс

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен ме-

жду системой и окружающей средой ( δQ = 0 ).

Из I начала термодинамики ( δQ = dU + δA) для адиабатического процесса следует, что

δA = −dU ,

(34.1)

т.е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.

С учетом выражений для δA и dU для произвольной массы газа перепи-

шем уравнение (34.1) в виде

pdV = −

m

C

 

 

dT .

 

 

(34.2)

 

V

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продифференцировав уравнение состояния для идеального газа PV = (M M )RT ,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pdV + Vdp =

m

RdT .

 

(34.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

Исключим из (34.2) и (34.3) температуру T

 

pdV + Vdp

= −

 

R

= −

Cp CV

.

 

pdV

CV

CV

 

 

 

 

 

 

 

Разделив переменные и учитывая, что γ = Cp CV , получим

dp = −γ dV .

pV

Интегрируя это уравнение в пределах от p1 до p2 и соответственно от V1 до V2 , а

затем потенцируя, придем к выражению

p

2

 

V

 

γ

 

=

1

 

,

 

 

 

p1

 

V2

 

 

 

 

 

или

p1V1γ = p2 V2γ .

Так как состояния 1 и 2 выбраны произвольно, то можно записать

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]