Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Глава 12 АДАПТИВНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

(12.67) можна подати у вигляді

де х — (п - 1)-вимірний вектор, компонентами якого є невимірювані

640

12.6. Адаптивні спостерігачі

Структурну схему об'єкта, побудовану за виразом (12.72), наведено на рис. 12.17.

Враховуючи, що зображення рівняння (12.70) можна подати у вигляді (12.71), і використовуючи теорему згортання (теорему Бореля), запишемо розв'язок рівняння за початкових умов х(0):

х(0 = е"А'х(0) + }бс(1)с-д(/-т)^(т) А +

і1 ( 1 2 . 7 3 )

Рис. 12.17

641

Глава 12 АДАПТИВНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Структурну схему, наведену на рис. 12.17, можна подати у вигляді, зображеному на рис. 12.18, якщо ввести вектори г і V з компонентами 2,, 2 2 , ... , 2п_{ і V,, у2, ..., . Беручи початкові умови 2(0) = у(0) = 0 і використовуючи теорему згортання, дістанемо

Вирази (12.74) і (12.77) відрізняються лише членом р(/)= Ьте~Л'х(0), тому якщо в схемі на рис 12.18 додати зображення р(^), то схеми на рис. 12.17 і 12.18 будуть повністю еквівалентними.

Рис. 12.18

642

12.6.Адаптивні спостерігачі

Рівняння, що описують структурну схему на рис 12.18, мають вигляд

с1у/Л = а0у + а121 + а222 + ... + ап_ї2„_] +

(Іг1/Л = у-к22ї9 (І22/(І1 - У ~

(12.78)

Ці рівняння точно описують невідомий об'єкт, поданий рівняннями (12.65). Проте цих рівнянь на п- 1 більше, тому рівняння

А = с І і а 8 [ А 2 Д з , . . . Д „ ] .

Для визначення векторів ос(1), а ( 2 ) невідомих параметрів об'єкта і вектора х(ґ) змінних стану використаємо модель, що настроюється. Структурну схему такої моделі наведено на рис. 12.19.

Рівняння, котрі описують модель, що настроюється, за аналогією з рівнянням (12.79) запишемо у вигляді

643

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Рис. 12.19

ІІШ е(ґ)= 0

1 оо

можна довести, використовуючи другий (прямий) метод Ляпунова.

Протягом збіжності процесу настроювання стають відомими вектори а ( | ) і а( 2 ) об'єкта.

Спостерігач, тобто пристрій, що забезпечує відновлення значення вектора х(/), який складається з невимірюваних компонент вектора х(0,за вимірюваннями керування и(1)й вихідної величини об'єкта у (і), можна реалізувати таким чином. Рівняння (12.71) подамо у вигляді

644

12.7.Адаптивні системи

зеталонною моделлю

або з урахуванням (12.80)

Тоді, беручи до уваги (12.75) і (12.76), записуємо

З цього виразу випливає, що компоненти шуканого вектора х(г) можна визначити, вимірюючи змінні стану , г2 > • • •> ^л-1>> • • • > у п - і моделі, що настроюється, і таким чином реалізувати адаптивний спостерігач.

Розглянута система є системою адаптивного керування ідентифікацією за допомогою моделі, що настроюється.

12.7

Адаптивні системи з еталонною моделлю

Вадаптивних системах з еталонною моделлю бажаний рух об'єкта (мета керування) задається моделлю, що є зразком або еталоном для об'єкта і тому називається ета-

лонною моделлю. Модель становить стаціонарну динамічну ланку з відомими параметрами, на вхід якої подають такі самі дії, що й на вхід об'єкта керування. Модель вибирається заздалегідь згідно з апріорною інформацією про вхідні дії. Завданням системи є настроювання параметрів основного контура під параметри еталонної моделі.

Функціональну схему одновимірної адаптивної системи з еталонною моделлю наведено на рис 12.20. Різниця вихідних сигналів об'єкта й моделі подається на вхід адаптивного регулятора і змінює його параметри так, щоб передаточна функція об'єкта з регулятором збігалася з передаточною функцією моделі. У цьому разі вихідні сигнали моделі й об'єкта збігаються і є = 0.

645

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Розглянемо випадок, коли об'єкт має передаточну функцію

коефіцієнта к у колі зворотного зв'язку для забезпечення мінімального розузгодження між вихідними сигналами об'єкта у(1) і моделі ум(ї) при змінюванні параметра об'єкта а(ї).

Вважатимемо, що змінний параметр об'єкта

а(г) = сі{) + А а(ї),

де а0 = сопзі, а настроюваний коефіцієнт зворотного зв'язку

Передаточну функцію моделі візьмемо у вигляді

де Ь = а0 + к0 = соп8і

Диференціальні рівняння, що описують рух основного контура системи й моделі,

646

12.7.Адаптивні системи

зеталонною моделлю

Віднявши (12.84) від (12.83) та беручи до уваги, що є = у - ум та (к/(1і - сіу/сіі - сіум/с!і, дістанемо рівняння відносно похибки розузгодження є(ґ):

Якщо є розглядати як координатне розузгодження рухів системи та еталонної моделі, то величину

можна вважати параметричним розузгодженням. При у = 0 і Ь > 0 розузгодження є асимптотично прямує до нуля.

Вважатимемо, що самонастроювання здійснюється виконавчим пристроєм, який змінює коефіцієнт к. Якщо припустити, що виконавчий пристрій є інтегрувальною ланкою, то

де \}/(ґ) — шуканий закон керування в контурі самонастроювання. Рівняння (12. 85) запишемо у вигляді

Тоді, здиференціювавши (12.86), з урахуванням (12.87) дістанемо

Невідомий закон керування \і/(/)можна визначити з умов здійснення бажаного руху зображуючої точки по площині є, у за рівняннями (12.88) і (12.89).

Скористаємося для цього прямим методом Ляпунова. Візьмемо визначено-додатну функцію

V = сг2 + у 2 ,

де с> 0. Крім того, вважатимемо об'єкт квазістаціонарним, тобто приймемо, що параметри об'єкта за час перестроювання коефіцієнта к не змінюються і, отже, сІАа(і)/сіі = 0. Тоді повна похідна функції Ляпунова

або, якщо врахувати рівняння (12.88) і (12.89), то

647

Глава 12 АДАПТИВНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Якщо прийняти

\|і(ї) = сгу,

де \|/ — алгоритм самонастроювання, то похідна функції Ляпунова

сіУ/с/Г = -2сг2Ь

є недодатною функцією для визначено-додатної функції У Тому нульовий розв'язок є = 0, у = 0 системи рівнянь (12.88), (12.89) є стійким.

Отже, закон змінювання коефіцієнта зворотного зв'язку в основному контурі набуває такого вигляду:

к(г) = к0 + Ак (ї),

де

сІАк (ї)/сІЇ = сгу.

Структурну схему цієї адаптивної системи з еталонною моделлю зображено на рис. 12.22.

Рис. 12.22

648

Контрольні запитання та завдання

Контрольні запитання та завдання