Teoriya avtomatichnogo keruvannya
.pdfГ л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
2 т
К(со,) = — Гх(ґ)С08 СО,/Л.
Т\ті
Аналогічно в и з н а ч а є м о і/(ш/ с ) і К(с% ) для всіх п частот.
•Приклад 12.3. Об'єкт другого порядку описується передаточною
функцією |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
Щр) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ахр + 1' |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
параметри |
Ьх, |
я, |
якої |
невідомі. |
Для |
частот |
пробного |
сигналу |
ш, = 1 с"1 |
і (02 = 10 с"1 |
експериментально визначено значення дійсної та |
||||||
уявної частотних характеристик |
|
|
|
|
||||
[/(]) = 21,2; |
(/(10)--2,12; У( 1) =-4,7; |
К(10) = -0,47. |
|
|||||
За цими даними знайти параметри передаточної функції об'єкта. |
||||||||
Р о з в ' я з а н н я . |
Для |
заданої |
передаточної |
функції |
об'єкта |
|||
/Уд(ш) = /ц; |
КЛ(ш) = 0; {7е(ш) = -#0ш2 + 1; Кд(ш) = я,оо, тому система рів- |
|||||||
нянь (12.42) для частот со, і со2 матиме вигляд |
|
|||
Ьх - |
)(1 — сг0со?) — К(со, )а,со,; |
0 = £/(со, )я,со, + К(со, )(1-я0 м?); |
||
Ь{ |
= (/(Ш2)(1-а0СО2)- К(ш2)а,С02; |
0 = {/(С02)а,С02 |
4" К(Ш2 )(1-^оС 0 2) |
|
або після підстановки числових значень |
|
|||
|
Ьх = 21,2(1 - #0 ) + 4,7(7,; |
(12.43) |
||
|
0 = 21,2*7, - 4,7(1 - я 0 ); |
(12.44) |
||
|
А, = -2,12 |
(1 - 100а 0 ) + 4,7а,; |
(12.45) |
|
|
0 =-2,12а, |
- 0,47(1 - 100я 0 ) . |
(12.46) |
|
Рівняння (12.44) і (12.46) не залежать від Ьх. Розв'язавши їх, знайдемо а0 = 0,1; ах = 0,2. Підставивши ці значення в будь-яке рівняння
(12.43) або (12.45), визначимо Ьх = 20. |
|
|
|
||
Р о з г л я н е м о тепер суть ідентифікації за д о п о м о г о ю моделі, |
що на- |
||||
строюється. |
Нехай передаточна |
ф у н к ц і я |
о б ' є к т а |
|
|
|
Кії |
+ьІр |
+ |
ь2 |
|
|
а0р + сі\р |
+ |
а2р+ 1 |
|
|
Д и н а м і к а |
о б ' є к т а при вхідній |
дії и(() описується р і в н я н н я м |
|||
а()р3х + а{р2х + а2рх + х = Ь0р2 и + Ь{ри + Ь2и. |
(І |
||||
630
12.4.Ідентифікація об 'єктів керування
Подамо вихідний сигнал об'єкта х(ї) на вхід ланки з пере-
даточною |
функцією И/1(р) = $0р3 +(3{ р2 + Р2 /?+1, |
а |
вхідний сигнал |
|
//(/) — на |
вхід ланки з передаточною |
функцією Ж2 (р) = (3 3/?2 + |
||
+ Р4/? + Р5 . |
|
|
|
|
Пристрої з передаточними функціями |
IV{(р) |
і |
\¥2(р) утворюють |
|
модель об'єкта, параметри якої р, можна змінювати (настроювати). Структурну схему з моделлю, що настроюється, зображено на рис. 12.12.
Якби параметри передаточної функції Ж, (р) дорівнювали параметрам знаменника передаточної функції IV{)(/;), тобто Р() = я0 , р, = сі{, Р2 = сі2, а параметри передаточної функції 1У2 (р)— параметрам чисельника №0(р), тобто Р3 =Ь0, Р4 = Ь{, Р5 -Ь2, то згідно з рівнянням (12.47) різниця вихідних сигналів є(ґ) ланок УУХ (р) і У/2 (р)дорівнювала б нулю. Якщо коефіцієнти не однакові, то різниця цих сигналів утворює сигнал похибки
є(0 = Ро^3М3 +Рі |
+ $2(1х/с1і + |
+х - Рзсі2 и/сІІ2 |
- $АсІиІсІї - Р5и, |
який залежить від параметрів моделі Р,- і невідомих параметрів об'єкта. Критерій якості ідентифікації візьмемо у вигляді функції
/ = е2(ї), |
' (12.48) |
яка набуває екстремум-мінімум (дорівнює нулю) за рівності параметрів моделі й об'єкта. Використовуючи для пошуків екстремуму функції (12.48) метод градієнта, згідно з виразом (12.8) дістанемо рівняння
Ф о |
|
|
а/ |
|
~ |
де |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
= |
|
|
|
с/3х |
||||||||
СІІ |
|
|
2сє |
|
= 2 СЕ Л 3 - |
|||||||||
|
с а р „ |
|
|
ЗРо |
||||||||||
|
— С |
а/ |
|
~ |
де |
= |
. |
|
СІ2Х |
|||||
СІІ |
|
= 2 се |
ар, |
|
2 се——: |
|||||||||
|
ар, |
|
|
|
|
|
|
|
СІ!2 |
|||||
<Ф4 |
|
|
а/ |
|
Л |
|
дг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 сг |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
СІІ |
|
|
|
|
|
ар4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф5 |
|
|
а/ |
~ |
|
де |
|
|
|
|
|
|||
сіі |
|
= с |
= 2 се |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ар 5 |
|
ар5 |
|
|
|
|
|
||||||
де с — стале від'ємне число, якщо відшукується мінімум.
631
Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
|
|
|
||||
|
|
Розв'язком |
цих |
рівнянь |
|||
|
є шукані змінювання пара- |
||||||
|
метрів (3,-, що настроюються. |
||||||
|
|
Цей метод досить прос- |
|||||
|
тий за своєю суттю, але його |
||||||
|
технічна |
реалізація |
дуже |
||||
Ф) |
складна, |
оскільки |
потрібно |
||||
обчислювати |
похідні |
вхід- |
|||||
|
|||||||
Рис. Ї2.12 |
них |
і |
вихідних |
сигналів |
|||
|
об'єкта |
(передаточні |
функ- |
||||
|
ції |
)¥х (р) та IV2 (р) |
фізично |
||||
не реалізовані). Тому доцільнішим є інший підхід до ідентифікації за допомогою моделі, що настроюється. За такого підходу отримання вихідного сигналу моделі не пов'язане з ланками, що фізично не реалізуються.
Запишемо передаточну функцію об'єкта у вигляді
(р) = х ( ґ ) = |
Ь т _ х р т ~ 1 |
+ . . . + |
Ь [ |
Р + Ь |
( 1 2 . 4 9 ) |
и(1) |
р" +ап_{р"~] |
+ ... |
+ |
а{р+а0 |
|
Поділимо чисельник і знаменник передаточної функції на поліном (п - 1)-го степеня вигляду (р + Х2 )(р + Я3 )... (р + Хп), всі корені якого відомі від'ємні числа -Х2,-Х3,..., - Хп. Розкладемо чисельник і знаменник на суми простих дробів і подамо передаточну функцію об'єкта у вигляді
|
а„ + |
а / 7 + 1 |
+... + а 2 п - \ |
|
|
|
р+Х2 |
|
( 1 2 . 5 0 ) |
и(1) |
|
|
|
|
|
а . |
а |
п- 1 |
|
|
р- а0 |
- р+х2 |
р |
+ К |
звідки безпосередньо випливає
|
|
|
|
|
а п- 1 |
|
рх-а0х |
а , |
і— |
|
|
||
|
|
р+Хп |
|
|||
|
р+Х2 |
|
(12.51) |
|||
|
а |
/;+ 1 |
|
а 2 п - 1 |
||
|
и + .. |
и. |
||||
= а „и + |
|
|
р+Хп |
|||
|
р+Х2 |
|
|
|
||
Додамо і віднімемо з лівої частини (12.51) вираз А,х(/>), де Л, — додатне число. Дістанемо
632
1 2 . 4 . Ідентифікація об 'єктів керування
(р+\{)х |
|
ґ |
а 0 |
л |
+ |
ОС, |
|
+ . . . + |
а |
я _ , л |
|
|
||
|
= |
+ А , |
|
— |
|
х + |
|
|||||||
|
|
V |
|
|
|
р+Х2 |
а , |
|
р+\п У |
|
|
|||
|
|
|
|
а,,,, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
а „ + — |
|
+ . . . + |
2 " ~ ' |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
р + X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЗВІДКИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( а 0 + |
X , |
|
) х + |
а , |
-X + ... + |
а , |
- х |
+ |
||||
Р + Х , |
|
/?+ Х2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
а , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.52) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р+Хп |
|
|
|
|
Подібно до (12.52) приймемо рівняння моделі у вигляді |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Р і |
-X + ... + |
р „ - |
-X + |
|||
р+ X, Ф о + X , ) х + |
/ > + Х 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.53) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р+^п |
|
|
|
|
Позначивши |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2; |
= |
|
|
|
|
|
|
(12.54) |
||
|
|
|
|
р + К* і |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
V, |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
(12.55) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вираз (12.53) подамо так: |
|
|
/>+*/ +1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
х„ = |
1 |
|
[(Ро + А.,)х + М, |
+ ... +Ря _ігя _, |
+ |
|
||||||||
р + Х , |
(12.56) |
|||||||||||||
Віднявши (12.52) від (12.56), визначимо похибку ідентифікації |
||||||||||||||
|
є = |
х . . |
- |
х |
|
1 |
( Р о |
- а о ) * + |
|
|
||||
|
|
Р+ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
X, |
|
|
|
|
(12.57) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ х ( Р , |
- а , |
|
|
+ ( Р „ - а я ) и + |
X ( р „ + , |
|
- а л + 0 |
у / |
|
|||||
633
Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Прийнявши, як і у попередньому випадку, критерій якості ідентифікації / = є2 (ґ) і використавши метод градієнта, запишемо рівняння, що визначають алгоритм настроювання параметрів моделі,
|
сіі = 2 сег1 і9 |
(12.58) |
де і = 0,1,..., и - 1;г0 |
= х; |
|
|
= |
(12.59) |
|
сіі |
|
де / = 0,1,..., п - 1; У0 |
= и. |
|
Структурну схему, що відповідає розглянутому методу іденти- |
||
фікації, зображено на рис. 12.13. Її побудовано за виразами |
(12.53), |
|
(12.54), (12.55), (12.58), (12.59). Для спрощення подано схему настроювання тільки одного параметра .
Рис. 12.13
634
12.5.Принципи побудови
безпошукових адаптивних систем
12.5
Принципи побудови безпошукових адаптивних систем
Адаптивні системи, що забезпечують стабілізацію або слідкування, у більшості випадків можна будувати як безпошукові. Безпошукові системи можуть мати розімкну-
тий або замкнутий контури адаптації.
В системах із р о з і м к н у т и м к о н т у р о м |
адаптація здійснюєть- |
||
ся за |
наперед розробленими програмами на |
підставі апріорної ін- |
|
ф о р м а ц і ї . Вони т а к о ж називаються системами з жорсткою |
адапта- |
||
цією |
або програмними адаптивними системами. |
|
|
У |
безпошукових адаптивних системах із |
з а м к н у т и м |
к о н т у - |
ром |
адаптації самонастроювання здійснюється за принципом під- |
||
тримання на оптимальному рівні передаточних функцій, часових або частотних характеристик.
Загальну функціональну схему безпошукової адаптивної системи наведено на рис. 12.14. На вхід системи подається задаюча дія до об'єкта керування прикладено зовнішню дію (збурення)/і недоступне для вимірювання параметричне збурення д (відхилення параметрів об'єкта від їхніх номінальних значень). Об'єкт керування і регулятор утворюють основний контур системи. На вхід блока датчиків надходить уся доступна для вимірювання інформація. Еталонна модель задає бажаний вектор хм змінних стану об'єкта. В аналізаторах / і 2 обчислюється поточне та задане значення цільової функції / і /3 . Блок порівняння визначає різницю цих функцій А/ = /3 - І. В блоці настроювання за величиною А/та іншою необхідною інформацією виробляються закони змінювання вектора г, який своєю чергою має змінювати параметри регулятора, щоб звести А/ до нуля або достатньо малої величини.
У більшості випадків мірою якості / є деякі величини або функції, що характеризують динамічні властивості системи. За виглядом динамічних характеристик, що використовуються при формуванні /, безпошукові адаптивні системи поділяються на т р и к л а с и :
•з інформацією про частотні характеристики;
•з інформацією про часові характеристики;
•з моделлю.
635
Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Рис. 12.14
В системах з інформацією про частотні характеристики вимірюється амплітудно-частотна Дсо)або фазочастотна ф(со) характеристики системи або одного об'єкта в достатній кількості точок со,. Можуть використовуватися також дійсна £/(со)або уявна К(со) частотні характеристики. Застосовуючи інформацію про А(со), ф(со)або £/(со), К(со), настроюють параметри регулятора так, щоб частотні характеристики і, отже, перехідні процеси, відповідали бажаним. Звичайно, необхідно, щоб частотні характеристики основного контуру системи залишалися незмінними при змінюванні параметрів об'єкта.
Необхідність контролювати одночасно дві частотні характеристики Дсо)і ф(со)або £/(со)і К(со) виникає лише в немінімально-фазових системах. У мінімально-фазових системах достатньо стабілізувати одну з них.
Одну з можливих функціональних схем системи, де для самонастроювання використовується амплітудно-частотна характеристика Дсо), наведено на рис. 12.15. Розглянемо стабілізацію однієї точки амплітудно-частотної характеристики. Генератор пробних сигналів виробляє частоту сопр, що подається на вхід фільтра /. Амплітудно-ча-
636
12.5.Принципи побудови
безпошукових адаптивних систем
Рис. 12.15
стотна характеристика Лб(ш) цього фільтра відповідає бажаній характеристиці замкнутої системи, що настроюється. Вузькосмуговий фільтр 2 настроєний на частоту шпр і виділяє амплітуду коливальної складової вихідної величини х на частоті сопр. Блок порівняння визначає відхилення амплітуди від бажаного значення ДЛ(сопр) = Лб(сопр)- До)пр). Блок настроювання змінює параметри регулятора так, щоб усунути відхилення амплітуди або звести його до допустимого мінімуму.
Для нестаціонарних об'єктів класична частотна характеристика, точно кажучи, втрачає сенс. Тому розглянутий принцип побудови систем є справедливим тільки за досить повільного змінювання параметрів об'єкта, тобто для квазістаціонарних режимів.
Самонастроювальну систему з інформацією про часові характеристики можна побудувати так. В аналізаторі 2 (див. рис. 12.14) обчислюється оптимальна імпульсна перехідна функція системи, а в аналізаторі 1 — дійсна. Блок порівняння визначає різницю цих функцій, яка використовується для настроювання параметрів регулятора. Для побудови таких систем застосовуються цифрові обчислювальні пристрої.
Практичне застосування набули простіші аналогові системи, незважаючи на їхні порівняно обмежені можливості адаптації. Розглянемо одну з таких систем.
Функціональну схему самонастроювальної системи з інформацією стосовно процесів на межі стійкості подано на рис. 12.16. Подібну систему можна застосовувати для керування нестаціонарними об'єктами, якщо необхідно підтримувати коефіцієнт підсилення на
637
Г л а ва 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
|
|
"і |
|
|
|
в иф |
|
|
|
максимальному |
рів- |
|||
|
|
В |
ф |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
О - |
|
|
|
|
|
|
|
ні, |
допустимому |
за |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
умов |
стійкості лінеа- |
|||
|
БАА |
|
|
|
|
|
|
|
ризованої системи. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Розглянемо робо- |
||||||
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
ту цієї схеми. Нехай у |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
початковий |
момент |
|||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
часу |
система |
перебу- |
||
БПК |
|
|
ВМ |
|
Об'єкт |
|||||||||
|
|
|
|
|
ває |
в |
зоні стійкості, |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й автоколивання від- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сутні. |
Тоді |
напруги |
||
|
|
Рис. 12.16 |
|
|
|
% на |
виході |
фільтра, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що |
|
настроєний |
на |
|
частоту автоколивань, і щ на виході випрямляча В дорівнюють нулю. Опорна напруга иоп надходить на вхід блока алгоритму адаптації БАА, що керує блоком перестроювального коефіцієнта БПК. Блок БАА має інтегрувальну ланку, тому коефіцієнт АГ збільшуватиметься доти, доки система не вийде на межу стійкості й у неї виникнуть автоколивання. Збільшення коефіцієнта К припиниться, коли сигнал на вході блока БАА га = иоп - щ дорівнюватиме нулю. Допустима
амплітуда автоколивань задається |
величиною опорної напруги и ш . |
Алгоритм адаптації, що реалізуються в блоці БАА, звичайно має |
|
вигляд |
|
гЛ + |
+ Кп |
ДЄ АГ0 = СОП8І.
12.6
Адаптивні спостерігачі
Розглянемо об'єкт, передаточна функція якого має вигляд (12.49) або (12.50). Позначимо вимірювану
вихідну величину об'єкта через у і рівняння (12.51) запишемо так:
а , |
-у(р) + |
... + |
а , |
У(Р) + |
|
РУ(р) = о-ьУ(р) + р+Х: |
|
а |
Р+^п |
(12.60) |
|
а п + 1 |
и(р) + |
2/;- І |
и(р). |
|
|
+ а пи(Р) + |
...+ |
|
|
||
р+Х: |
|
Р+\„ |
|
|
|
638
12.6.Адаптивні спостерігачі
Приймемо, що
|
|
|
|
|
у(р) |
= |
х](р)\ |
|
|
|
|
|
|
(12.61) |
|||
|
|
|
|
|
а , |
|
|
|
|
а л + 1 |
|
|
|
|
(12.62) |
||
|
х2(р) |
= р+Х2 |
|
у(р) |
+ р+ X |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(р) = |
а 2 |
|
|
|
|
а н + 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
у(р) |
+ |
и(р)', |
|
||||||||
|
|
|
|
р+Х3 |
|
р + X |
|
( 1 2 6 3 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
а |
2 / 1 - 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
р+Х„ |
|
|
|
|
|
р+Х„ |
|
|
|
( 1 2 . 6 4 ) |
|||
тоді рівняння (12.60) у формі Коші матимуть вигляд |
|
||||||||||||||||
СІХ{ /сії |
= |
А0х[ |
+ |
х2 |
+ |
х3 |
+ . . . + |
х„ + АПІІ, |
|
||||||||
сіх2/сіі |
= |
а, |
х, |
- Л 2 х 2 |
|
+ап+1и, |
|
|
|
|
|||||||
• сіх і/сії |
= |
а 2 х , |
- |
А3 х3 |
|
+ Х„+2и, |
|
|
|
( 1 2 . 6 5 ) |
|||||||
_<&„/</* = а „_,*, |
- Х„х„ |
+а2 / І _1 и, |
|
||||||||||||||
або в матричній формі — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
~а о |
: 1 |
|
|
1 ... |
|
|
1 |
|
|
|
"а „ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а . |
: - Л 2 |
0 ... |
|
|
0 |
|
|
|
а и + 1 |
|
|
|||||
х = |
« 2 |
: 0 |
- А 3 ... |
|
|
0 |
х + |
а « + 2 |
и . |
( 1 2 . 6 6 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
« „ - і |
: |
0 |
|
0 .. |
|
|
|
|
|
|
|
«2„-1. |
|
|
||
Це рівняння можна записати у компактнішій формі, якщо засто- |
|||||||||||||||||
сувати блочну матрицю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ьт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а (і) |
|
|
|
х |
+ а ( 2 ) |
и , |
(12.67) |
||||||
де х — «-вимірний вектор змінних стану об'єкта, причому х, |
= у — |
||||||||||||||||
вимірювана змінна, |
|
решта |
|
змінних |
невимірювані; а ( " |
= [ а 0 , |
|||||||||||
639