Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Глава 12 АДАПТИВНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

пом системи є стан, у який вона прийшла в кінці першого кроку,

Отже, практично за два кроки система опиняється в точці, досить близькій до точки мінімуму.

М е т о д Г а у с с а - З е й д е л я . За цим методом рух уздовж кожної координати відбувається почергово. Спочатку здійснюється рух уздовж координати щ, а решта координат и2, щ,... залишаються незмінними. Цей рух триває доти, доки похідна функції / по координаті ил не дорівнюватиме нулю, тобто ді/дщ = 0. З останньої умови визначається щ . Після цього значення щ і решта координат, крім залишаються незмінними, а координата и2 змінюється доти, доки не буде виконана умова дІ/ди2 = 0. З цієї умови визначається и2. Потім и2 і решта координат, крім щ, залишаються незмінними, а змінюється координата и3 і т. д. У такий спосіб визначаються частинні екстремуми по всіх координатах. Після цього виконується повторний цикл зміни координат почергово, починаючи з ил. Процес пошуків триває доти, доки всі частинні похідні не дорівнюватимуть нулю (практично доти, доки всі похідні не будуть меншими за поріг чутливості системи).

•Приклад 12.2. Показник екстремуму

/ = і?{ + + и^

є функцією координат их і ^. Описати процес пошуків екстремуму методом Гаусса—Зейделя, якщо початковому стану об'єкта відповідають значення щ = 4, ^ = 6.

Р о з в ' я з а н н я . Початковий стан об'єкта визначається точкою М,, зображеною на рис. 12.9. Починаємо пошуки, змінюючи координату щ при щ = 6. Тоді

І(и{, 6) = и} + 36+ 6 ц .

Визначимо частинну похідну функції /(*/,, 6) по щ та прирівняємо її до нуля:

ді {щ, 6)/3ц = 2и{ + 6 = 0,

звідки для першого частинного екстремуму и{ = - 3 . Йому відповідає точка М2 з координатами и{ = -3, и2 = 6 (рис. 12.9).

Вважаючи параметр щ = -3 незмінним, змінюватимемо координату щ. Функція /(-3, щ) запишеться у вигляді

а її частинна похідна по щ —

620

12.2.Системи екстремального керування

3/(-3, ц)/3ц = 2 ц - 3 = О,

звідки щ = 1,5.

Цьому значенню координати и2 відповідає точка М3, зображена на рис. 12.9.

Повторюємо обчислення для координати ц, прийнявши и2 = 1,5: /(ц; 1,5) = ^ + 2,25+ 1,5ц; 3/(ц; 1,5)/3ц = 2ц + 1,5;

ц= -0,75,

ідістаємо точку Л/4, зображену на рис. 12.9. Наступний цикл:

З/(-0,75; ц)/3ц = 2ц - 0,75 = 0;

ц = 0,375.

Цьому циклу відповідає точка М5.

Отже, пошукові рухи становлять ламану лінію, що складається із взаємно перпендикулярних відрізків. Точки зламу є точками дотику

ЦИХ відрізків ДО кривих / ( ц , ц ) = СОП5І.

Метод почергового змінювання параметрів зручний тим, що для його реалізації можна застосовувати відомі типи однопараметричних екстремальних систем, якщо додати пристрій, що перемикає канали параметрів и{, и2,..., ит. Проте, як видно з рис. 12.9, система рухається до екстремуму аж ніяк не найкоротшим шляхом.

Методи випадкових пошуків екстремуму. До цих методів належать методи випадкових сліпих пошуків, статистичного градієнта та статистичного найшвидшого спуску.

М е т о д в и п а д к о в и х с л і п и х п о ш у к і в . Суть методу полягає в пошуках екстремуму за рахунок випадкового змінювання параметрів ц. У початковому стані системи дається випадковий приріст координат ц і визначається приріст функції І. Якщо приріст від'ємний (при пошуках максимуму), то система повертається у вихідний стан і робиться наступний пробний крок. Так повторюється доти, доки не дістанемо додатний приріст. Тоді система переводиться в цей новий стан, з якого виконуються нові випадкові кроки.

М е т о д с т а т и с т и ч н о г о г р а д і є н т а . Цей метод полягає вто - му, що з вихідного стану системи робиться кілька пробних випадко-

621

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

вих кроків і для кожного з них визначається приріст функції /. За цими приростами, як за складовими вектора, визначається напрям найінтенсивнішого змінювання функції /. В цьому напрямі виконується робочий крок, а потім цикл пошуків повторюється.

М е т о д с т а т и с т и ч н о г о н а й ш в и д ш о г о с п у с к у . Початок пошуків такий самий, як і в разі застосування попереднього методу, але після визначення напрямку робиться не один крок, а рух відбувається доти, доки не зміниться знак приросту І.

Під час випадкових пошуків немає потреби визначати залежності /від кожної координати щ окремо. Це особливо важливо при великій кількості координат, оскільки при збільшенні їх кількості, на відміну від розглянутих детермінованих методів пошуків, процедура пошуків не ускладнюється. Доведено, що при щ > 3 випадкові пошуки перевершують детерміновані за швидкістю досягнення екстремуму.

Іншою перевагою методу випадкових пошуків є можливість відшукати глобальний екстремум (мінімум мініморум або максимум максиморум при пошуках відповідно мінімуму або максимуму) за наявності кількох екстремумів, а також наявності особливих точок, для яких / = 0. Детерміновані методи, що базуються на пошуках точки з нульовим градієнтом, у цих випадках непридатні, тому що система може припинити пошуки на будь-якому локальному екстремумі або в особливій точці.

У деяких випадках найефективніше об'єднувати різні методи пошуків. Зокрема, на початку пошуків далеко від точки екстремуму можна застосувати метод найшвидшого спуску, а поблизу екстремуму перейти до градієнтного методу. За наявності кількох екстремумів методом градієнта визначається і запам'ятовується локальний екстремум. Потім здійснюється крок у випадковому напрямку, методом градієнта відшукується новий локальний екстремум і порівнюється з раніше знайденим. Коли визначені всі локальні екстремуми, знаходять глобальний. Кількість циклів пошуків вибирається заздалегідь, виходячи з даних про кількість екстремумів та їхнє взаємне розміщення.

622

12.3.Динаміка екстремальних систем

12.3

му), точності (забезпечення заданого відхилення показника якості від екстремального значення в усталеному режимі) і швидкодії (мінімального часу пошуків екстремуму). Крім того, динаміка екстремальних систем характеризується ще й такими специфічними показниками: витрати на рискання, період рискання, зона пошуків на вході й виході об'єкта, час виходу в точку екстремуму.

Визначимо ці показники для екстремальної системи, що діє за принципом вимірювання похідної сі І/сій (див. рис. 12.4, сі). Вважатимемо, що всі елементи системи безінерційні. Релейний елемент розглядатимемо як ідеальне трипозиційне реле із зоною нечутливості 2с.

Якщо прийняти, що статична характеристика об'єкта / = /(и)має вигляд параболи, і умовно перенести початок координат у точку екстремуму (див. рис. 12.4, б), то нелінійна частина об'єкта описувати-

Припустимо, що вихідний сигнал виконавчого механізму змінюється лінійно при постійному вхідному сигналі, тобто

де знак «+» відповідає інтервалові часу, коли сій/сіі > 0, а знак «-» — інтервалові часу, коли сій/сії < 0. У цьому разі

В режимі усталених коливань максимальне відхилення (амплітуда рискання) показника якості від екстремального значення одержуємо з виразу (12.21) при і = Г/2:

Визначимо тепер похідну сії/сій.

Запишемо похідну показника якості за часом

сИ/с/и=-2к{к2Г

623

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

і похідну вихідного сигналу виконавчого механізму

(їй! сії = ±к2.

Тоді

сій/сії

Перемикання релейного елемента відбувається при сії/сій = ±с і і = 772, якщо вести відлік часу від початку координат, умовно перенесеного в точку екстремуму. Тому

2/С, /С27"/2 = с,

звідки

Т = с/к | к 2,

тобто період рискання залежить від зони нечутливості релейного елемента, а також визначається параметрами виконавчого механізму та екстремальної характеристики об'єкта.

Середнє за період рискання значення відхилення показника яко-

З порівняння виразів (12.22) і (12.23) випливає, що амплітуда рискання в три рази перевищує втрату на рискання, тобто

А / = ЗВ.

Системи з періодичним пошуковим сигналом (див. рис. 12.7) в усталеному режимі працюють поблизу екстремуму. Якщо вважати всі ланки схеми на рис. 12.7, ббезінерційними, то сигнал на вході ланки з екстремальною характеристикою обчислюється за формулою

624

тобто амплітуда рискання на виході системи, що залежить від додаткового пошукового сигналу, буде такою:

А / = - к м 2 .

З виразу (12.26) видно, що коливання показника якості відбуваються з подвійною частотою, при цьому втрату на рискання знаходимо за формулою

(12.27)

Другий інтеграл у цьому виразі є визначеним інтегралом косинуса протягом цілого числа періодів і, отже, дорівнює нулю, тому

(12.28)

Отже, в системах із періодичним пошуковим сигналом втрата на рискання в два рази менша за амплітуду рискання:

Я = Д//2.

Для зменшення втрат на рискання слід знижувати амплітуду пошукового сигналу. Можливість зменшення амплітуди визначається рівнем перешкод, тому що пошуковий сигнал має чітко виділятися на їхньому фоні. Якщо проаналізувати спектр перешкод на виході системи, можна визначити ділянку спектра з найменшими амплітудами перешкод. Це дає змогу вибрати частоту і амплітуду пошукового сигналу так, аби забезпечити мінімальну втрату на рискання при досить надійній роботі системи.

Розглянуті показники динаміки відповідають ідеальному випадку, коли всі елементи системи вважаються безінерційними, а статична характеристика об'єкта — стаціонарною, тобто такою, що не змінюється протягом часу.

Розглянемо вплив інерційності об'єкта на процес пошуків екстремуму на прикладі системи, функціональну схему якої наведено на рис. 12.4, а. Припустимо, що об'єкт можна подати у вигляді двох ла-

де с — зона нечутливості екстремального регулятора.

Підставивши значення / за формулою (12.30) в рівняння (12.29), дістанемо

Замінивши в цьому рівнянні похідну сіи/сіґії значенням за формулою (12.31), одержимо

к3Т{Ь— + / = -кхк2и2. сій

626

12.3.Динаміка екстремальних систем

Враховуючи, що Ь = ±Ь0, подамо це рівняння у вигляді

Розв'язок рівняння (12.34) / = /(и) становить фазову траєкторію об'єкта у площині координат и, /. Для безінерційного об'єкта / = к{ /, тому фазова траєкторія при к{ = 1 збігається зі статичною характеристикою об'єкта (12.30). Для інерційного об'єкта

Фазову траєкторію, побудовану за рівнянням (12.35), зображено нарис. 12.11. На початку руху гі/Д/и > 0, змінна «зменшується, похідна сП/сіи стає від'ємною і при сії/сій < -с виконавчий механізм перемикається (реверсується). Рівняння фазової траєкторії (12.35) залишається незмінним, але через те, що після перемикання Ь = -Ь0, коефіцієнти а і Р змінюють знак. Крім того, при визначенні сталої

627

Г л а в а 12 АДАПТИВНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

12.4

Ідентифікація об'єктів керування

озглянемо одновимірний стаціонарний об'єкт з не- р відомими параметрами, що описується рівнянням

де х(і)— вихідна координата системи; и{1)— відома (вимірювана) ке-

де Вк і с% — відомі амплітуда і частота гармонічних складових випробувальної дії, необхідні для визначення значень частотних характеристик об'єкта за частот о^, со2,

Якщо на вхід лінійного об'єкта подається гармонічна дія, виражена формулою (12.38), то вихідний сигнал х(і) також є сумою гар-

де А(юк), ср(с% )— значення амплітудної й фазової частотних характеристик за частоти %.

Згідно з рівнянням (12.37) передаточна функція об'єкта

628

12.4.Ідентифікація об 'єктів керування

Виконавши підстановку р= у'ш, перейдемо до комплексної частотної передаточної функції

і якої дістанемо

+ У£/(со)К0(со) + ]У(о))ІІ0(со) - Г(со)Ка(со).

Порівнявши дійсні та уявні частини цього виразу, отримаємо два рівняння

чення % ) і У(щ), то з рівнянь (12.41) дістанемо 2/7 лінійних алгебричних рівнянь вигляду

Ь]{] = 0, 1,...,ш).

Експериментально [/(со, ) і К(со/с) визначаємо так. На вхід об'єкта подаємо пробну дію и(і) = Ізіпсо,/. Після закінчення перехідного процесу на виході об'єкта дістаємо усталений сигнал х(ї)= Дсо, )х х 8Іп [оо, / + ф(соІ)]. Амплітуда і фаза цього сигналу пов'язані з дійсною та уявною частотними характеристиками об'єкта співвідношеннями

ІІ(со,) = А(со, )со8ф(со,);

К(со,) = Доз, )8ІПф(С0, ).

Сигнал з виходу об'єкта подаємо на фільтр Фур'є, який здійснює множення х(ґ) на 8Іп со/ і со8 со/та усереднення за ціле число періодів. Отже, на виході фільтра дістаємо

2 Т

6г(со1) = - Г х ( 0 з і п ш 1 Г ^ ;

Ті

629