Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

(дрейфують) у часі. Якщо значення керуючого параметра и - и , при якому досягається екстремум, є фіксованим, тобто відбувається лише вертикальний дрейф статичної характеристики (рис. 12.2, а), або змінюється за наперед відомим законом, то можна застосувати систему стабілізації або систему програмного керування. Якщо крім вертикального дрейфу відбувається й горизонтальний (рис. 12.2, б), причому закон цього дрейфу заздалегідь не відомий, то системи стабілізації або програмного керування не можуть забезпечити автоматичне утримання екстремуму. В цьому разі слід застосовувати систему екстремального керування, що забезпечує такі змінювання керуючих параметрів, за яких відбувається рух системи до екстремуму й утримання її в точці екстремуму.

Прикладом однопараметричного об'єкта системи екстремального керування може бути коливальний £С-контур. Завдання системи полягає в автоматичному настроюванні цього контуру в резонанс із частотою /напруги, прикладеної до контуру. Контур настроюється за рахунок змінювання ємності конденсатора С. Ознакою такого настроювання є максимум напруги II на резонансному контурі (рис. 12.3).

Іншим прикладом екстремального об'єкта може бути котел теплових електричних станцій. У топку котла подається повітря, кількість якого дещо перевищує теоретично необхідну для повного згоряння палива. Відношення цих кількостей називається коефіцієнтом надлишку повітря а н. Правильність вибору цього коефіцієнта визна-

б

Рис. 12.2

610

12.2.Системи екстремального керування

котла мав максимально можливе за даних умов значення.

Розглянемо методи (принципи) пошуків екстремуму в одно- і багатопараметричних екстремальних системах.

Метод вимірювання похідної. Цей метод ґрунтується на тому, що похідна сіі/сіи змінює свій знак під час проходження через екстремум. Напрямок руху до екстремуму визначається знаком похідної, а ознакою наявності екстремуму є те, що похідна дорівнює нулю.

Для визначення похідної сії/сій можна вимірювати похідні сії/сіі і сій/сіі, а потім ділити першу похідну на другу, тобто

Функціональну схему системи, в якій реалізується цей метод пошуків екстремуму, наведено на рис. 12.4, а. Вона складається з двох диференціаторів ДФ, блока ділення БД, що визначає похідну сії/сій, і релейного елемента РЕ, що дає знак похідної. Залежно від знака похідної виконавчий механізм ВМ забезпечує рух об'єкта керування ОК у бік екстремуму. Під час проходження через екстремум знак похідної змінюється, релейний елемент перемикається і виконавчий механізм реверсується, що забезпечує повернення системи до точки екстремуму.

Часові діаграми, що відповідають цьому методу пошуків екстремуму, подано на рис. 12.4, б. Вважатимемо, що початковий стан об'єкта характеризується точкою М,, що міститься ліворуч від екстремуму. В цьому разі сії/сіи > 0, на вхід виконавчого механізму подасться сигнал +#0 і сигнал и змінюватиметься зі сталою швидкістю. По-

611

Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

с

~с\ ~-ь0

Рис. 12.4

казник якості / спочатку збільшуватиметься, а після точки екстремуму — зменшуватиметься. Похідна сії/сій перед точкою екстремуму додатна, в точці екстремуму дорівнює нулю, а після точки екстрему-

612

12.2.Системи екстремального керування

му стає від'ємною. Внаслідок наявності зони нечутливості в релейному елементі похідна сії/сії залишається від'ємною до точки М2. При (И/сіІ = -кс, де 1 /к = сій/сії, релейний елемент перемикається і змінює знак сигналу на вході виконавчого механізму. Після цього змінна и зменшуватиметься зі сталою швидкістю, а показник якості / знову збільшуватиметься, доки не перейде точку екстремуму, і т. д. У системі встановлюються автоколивання з періодом повторення Т. Рух системи поблизу точки екстремуму називається рисканням.

Метод запам'ятовування екстремуму. Цей метод полягає у використанні різниці між поточним і екстремальним значеннями показника якості для знаходження моменту реверсу системи. Екстремальне значення показника якості визначається запам'ятовуючим пристроєм, який увімкнено так, що на його вхід надходять тільки додатні (при пошуках максимуму) або тільки від'ємні (при пошуках мінімуму) прирости показника якості.

Функціональну схему системи, в якій реалізується метод запам'я- товування екстремуму (максимуму), зображено на рис. 12. 5. Вихідна величина / об'єкта керування ОК подається на вхід запам'ятовуючого пристрою ЗП, який фіксує лише додатні прирости І. Для формування керуючої дії використовується різниця І - / з п , що визначається елементом порівняння ЕП. Статичну характеристику об'єкта й часові діаграми, що відповідають пошукам максимуму, подано на рис. 12.6.

Рис. 12.5

Припустимо, що в момент часу г, стан об'єкта характеризується параметрами /,, щ (рис. 12.6, а), які відповідають точці Мх (рис. 12.6, б), і екстремальний регулятор увімкнено так, що значення керуючої дії збільшується, тобто система віддаляється від точки екстремуму.

613

б

Рис. 12.6

Оскільки значення /зменшується, сигнал на виході запам'ятовуючого пристрою не змінюється, тому абсолютна величина різниці сигналів / - /зп на вході релейного елемента РЕ збільшується (рис. 126, в). У момент часу і2 ця різниця набуває значення |с|, релейний елемент перемикається, виконавчий механізм ВМ реверсується, керуюча дія и починає зменшуватися, тобто після точки М2 (рис. 12.6, б) система починає рух у бік максимуму. При цьому значення І{ , що було запа- м'ятоване в ЗП в момент , скидається і ЗП запам'ятовує значення /2 .

Під час руху системи в бік максимуму ЗП запам'ятовує значення /, тому / = /зп = 0. Після досягнення максимуму (точка М3 ) керуюча дія и продовжує зменшуватися, внаслідок чого /також зменшується, а /зп не змінюється. Тому абсолютна величина різниці /- /зп збільшується, і в момент/4 релейний елемент спрацьовує, виконавчий механізм реверсується і знову починається рух системи в бік максимуму. Цей процес триває безперервно, і в системі встановлюються автоколивання поблизу екстремуму регульованої величини. Амплітуда автоколивань визначається зоною нечутливості релейного елемента.

Метод періодичного пошукового сигналу. Для визначення похідної використовуються вимушені гармонічні коливання, що подаються на об'єкт керування від спеціального генератора. На підставі аналізу реакції об'єкта на ці коливання визначаються абсо-

614

12.2.Системи екстремального керування

лютна величина і знак похідної сії/сій. Нехай, наприклад, стан об'єкта з екстремальною характеристикою визначається параметрами /,, //, (рис. 12.7, а). Змінюватимемо и поблизу щ за синусоїдальним законом. Якщо амплітуда коливань мала, то вихідна величина об'єкта також змінюватиметься за синусоїдальним законом, при цьому фази вхідних і вихідних коливань збігатимуться для всіх значень щ < и . Якщо ж стан об'єкта визначається параметрами /,, и2, то на виході об'єкта встановлюються коливання, зсунуті на 180° відносно вхідних. Отже, за зсувом фаз можна визначити напрямок руху системи до екстремуму.

Функціональну схему системи, в якій реалізується описаний метод пошуків екстремуму, зображено на рис. 12.7, б. Вона складається з об'єкта керування ОК, виконавчого механізму ВМ, синхронного детектора (фазового дискримінатора) СД і генератора пошукових сигналів ГПС. Синхронний детектор містить пристрій, що перемножує, та фільтр. Після перемноження сигналів І і/та виділення постійної складової утворюється сигнал, абсолютна величина якого пропорційна похідній сі І'/сій, а знак вказує напрямок необхідної зміни керуючої дії.

Пошуковий сигнал є модулюючим відносно основного сигналу //, тому системи такого типу називаються екстремальними системами з модулюючою дією.

Рис. 12.7

615

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

В автоколивальних нелінійних системах можна замість зовнішнього пошукового сигналу використовувати автоколивання.

Розглянуті методи пошуків екстремуму стосуються однопараметричпих об'єктів. Якщо показник екстремуму є функцією кількох керуючих параметрів І(их, и2,..., ит), то необхідною умовою досягнення екстремуму є рівність нулю частинних похідних показника якості за усіма керуючими параметрами:

методів належать методи градієнта, найбільш швидкого спуску, Га- усса—Зейделя.

де к1 , к 2 , . . . , кш — одиничні вектори, напрямки яких збігаються з напрямками осей щ, и2,..., ит.

Цей вектор спрямований у бік найбільшого зростання функції /. В точці екстремуму

£га<3/= 0.

Метод градієнта реалізується на основі дискретної або безперервної дії контуру адаптації. В першому випадку визначаються всі компоненти градієнта ді/ди-, а приріст параметрів Аи- на кожному кроці вибирається пропорційним цим компонентам.

Аналітично метод градієнта в цьому випадку можна подати у вигляді

Аи - с §гсісі /,

616

12.2.Системи екстремального керування

де к — номер кроку; с — деякий сталий або змінний параметр, що визначає величину кроку.

При безперервній дії контуру адаптації метод градієнта полягає в тому, що швидкості змінювання параметрів иі приймаються пропорційними відповідним компонентам миттєвого значення градієнта, тобто

Залежності (12.7) і (12.8) використовуються для формування робочих сигналів екстремальної системи, що забезпечують рух до екстремуму вихідної величини І.

Розглянемо, наприклад, систему екстремального керування, структурну схему якої наведено на рис. 12.8. Показник екстремуму є функцією двох керуючих параметрів щ і и2.

Рис. 12.8

617

Глава 12 АДАПТИВНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

а проекції градієнта функції / на напрямки осей щ, и2

У цих виразах знак мінус береться тому, що рух відбувається в бік зменшення градієнта.

Для визначення процесу наближення координати х до екстремуму спочатку знайдемо закони змінювання керуючих параметрів и{ і и2. Для цього розв'яжемо рівняння (12.13) і (12.14) за початкових умов і - 0, щ = и{{), и2 = и20:

Щ = 9-2к2к3{. и2 = м2()Є-2к2к4ґ

Підставивши ці вирази в рівняння об'єкта (12.9) і (12.10), дістанемо диференціальне рівняння

шуканий закон змінювання координати ху процесі наближення системи до екстремуму.

П е р е в а г о ю методу градієнта є відносно швидкий вихід системи в зону екстремуму та мала амплітуда рискання, н е д о л і к о м — необхідність безперервного визначення компонентів градієнта.

М е т о д н а й ш в и д ш о г о с п у с к у . За цим методом напрямок градієнта визначається в початковій точці, а потім відбувається рух у цьому напрямку доти, доки похідна вздовж цього напрямку СІІ/СІІ не дорівнюватиме нулю. Потім знов визначається напрямок градієнта й відбувається рух за новим напрямком до наступного нульового значення похідної і т. д.

Метод найшвидшого спуску характеризується відносно малим часом досягнення екстремуму при великих кроках на початковому етапі пошуків.

618

12.2. Системи екстремального керування

•Приклад 12.1. Задано показник екстремуму

для різних /= соп8І. Початковий стан визначається точкою М\.

Знайдемо напрямок градієнта в початковій точці. Частинні похідні для цієї точки мають вигляд

Оскільки відшукується мінімум функції /, то рухатимемося у напрямку, зворотному до градієнта, і визначимо координати ии , наступної точки:

[ и п = г/10 - / ( 3 / / 3 ц ) = 4 - / • 1 4 ,

(12.18)

[«2, = і/20 - І (дІ/ди2) = 6 - / • 16.

Тут / — поки що невідомий крок переходу з точки (ц0, и20) в точку

(ип, */>,).

Для визначення кроку / підставимо знайдені значення ии і у вираз (12.16). Тоді дістанемо

/= ( 4 - 1 4 0 ? + (6-160?+

+( 4 - 1 4 / ) ( 6 - 1 6 0 =

=6161і - 452/ + 76

іприрівняємо до нуля похідну ді/ді Тоді дістанемо

ді/ді = 1352/-452 = 0,

звідки / = 0,33.

Підставивши знайдене значення / у вираз (12.18), визначимо координати и{] і ип: ип = -0,68, = 0,65 (точка МХ2 нарис. 12.9).

619