Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

У розглядуваному прикладі ці рівняння мають вигляд

с!х{ /сії =

= -[АИИ Х? + т22х^ + Т33х5 + 2(/7712х,Х2 + /я,3х,х3 + Т2 3 ^х3 )].

Частинні похідні функції Кмають вигляд

аК/ах, = - 2(т,,х, + ш,2х2 + ш13х3);

дУ/дХ2 = -2(/?7|2Х, + /7?22-^2 + /П23Х3)'

ак/ах 3 = -2(ш13х, + ш23х2 + /п33х3).

Підставивши ці похідні у вираз (11.116) і прирівнявши нулю суми коефіцієнтів при однакових х^х/5 дістанемо систему з шести рівнянь Ріккаті для визначення параметрів тгк квадратичної форми функції:

для х^

с, - £>?зДч) = 0;

для

с, + 2 т12 + 2 т23а32-Ь2т22і/с0 = 0;

для х\

с3 + 2т2 3 + 2ш33#33 -Ь2 т]3 /с{ ) = 0;

600

1 1 . 7 . Застосування методу динамічного програмування для синтезу дискретних (цифрових) регуляторів

Вагові константи с, і с0 функціонала (11.108) визначаємо, виходячи з максимально допустимих значень змінних стану системи і керуючих дій під час перехідного процесу:

уV і тах у

Уцьому разі функціонал матиме вигляд

Розроблено й інші методи аналітичного конструювання регуляторів. Зокрема, метод О. А. Красовського відрізняється складнішими обмеженнями керування та змінних стану системи, а також і тим, що оптимізуючий функціонал не містить керування. Такий підхід дає змогу визначати оптимальне керування в замкнутій аналітичній формі для задач високої розмірності.

11.7

Якість перехідних процесів оцінюється функціоналом

601

Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

хк [п]), при якому функціонал (11.118) набуває мінімального значення і забезпечується повернення об'єкта в стан, що відповідає початку координат простору станів ( х [ ° о ] = 0).

За аналогією з безперервними системами рівняння Беллмана для дискретних систем також можна дістати за допомогою принципу оптимальності. Це рівняння матиме вигляд

£ — мінімум функціонала (11.118) за керуванням и. Використовуючи функціонал у вигляді (11.118) і рівняння об'єк-

та (11.117) , рівняння (11.119) можна подати у вигляді

Визначивши похідну по и від цього виразу, дістанемо співвідношення для визначення рівняння цифрового регулятора

Розглянемо застосування цих виразів на прикладі систем першого і другого порядків.

602

Функцію 5(х) відшукаємо у вигляді квадратичної форми 2>'(х) = т х 2 . Для визначення коефіцієнта т складаємо рівняння Ріккаті. Для цього підставляємо значення д5(х)/дх = 2тх і д25(х)/дх2 = 2т у вираз (11.123), а потім прирівнюємо нулю суму всіх коефіцієнтів при х2 .

603

Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Після знаходження коефіцієнта т керування и записуємо у вигляді

Для об'єкта другого порядку, що описується рівняннями

Дістанемо вираз для визначення рівняння цифрового регулятора:

Функцію ^ відшукуємо в квадратичній формі

604

Контрольні запитання та завдання

5 ( х { , х 2 ) = т и х І 2 + 2/771 2 Х,Х2 + Т 2 2 Х 2 .

Коефіцієнти шп ,ш12,ш22 визначаємо з системи трьох рівнянь Ріккаті, після чого з виразу (11.124) знаходимо керування и як функцію

V, І Х 2 .

Контрольні запитання та завдання

і

Глава адаптивні системи

і а в т о м а т и ч н о г о керування

12.1

Загальні відомості про адаптивні САК

Системи автоматичного керування, розроблені згідно з припущенням, що властивості об'єкта та зовнішні збурення відомі і не змінюються упродовж експлуатації, за-

безпечують потрібні показники якості лише у разі, якщо відхилення параметрів об'єкта і збурень від розрахункових значень неістотні. Проте в багатьох випадках параметри об'єкта та зовнішні збурення змінюються у досить значних межах, крім того, інформація про властивості об'єкта та зовнішні збурення взагалі може бути неповною. Тому САК, які розробляються за заданими характеристиками об'єкта і збурень, а також мають незмінну структуру й параметри, у більшості випадків не забезпечують оптимальних режимів функціонування. Ще більші складності виникають під час проектування систем, що працюють за неповної інформації про властивості об'єкта та зовнішні збурення.

Вихід із цих ускладнень полягає в розробці регуляторів, властивості яких змінюються так, щоб при змінюванні параметрів об'єкта та зовнішніх дій якість системи зберігалася, тобто властивості регуляторів мають пристосовуватися (адаптуватися) до цих змін. Системи з такими регуляторами називаються адаптивними (самонастроювальиими). Отже, адаптивна САК — це система, яка здатна в процесі виконання основного завдання керування за рахунок змінювання параметрів і структури регулятора поповнювати нестачу інформації про об'єкт керування і, діючи на його зовнішні збурення, поліпшувати якість свого функціонування.

Розглянемо одномірний об'єкт, що описується рівнянням у век- торно-матричній формі

606

12.1.Загальні відомості про адаптивні САК

іе и — керуюча дія; Г — збурення; А{і)~~ матриця системи розмірністю пхп', В(і), \|/(/) — матриці-стовгіці І х//, причому всі або окремі компоненти матриць задані неточно або змінюються з часом, тобто є так званими невизначеними параметрами. Причина невизначеності параметрів може бути різною: наближені відомості про математичну модель об'єкта, розкид параметрів у межах технологічних допусків, змінювання параметрів унаслідок «старіння» тощо.

Звичайно параметри об'єкта змінюються повільніше, ніж змінні стану, тому інтервал роботи об'єкта [ґ0, /і ] можна розділити на нідінтервали, протягом яких параметри об'єкта можна вважати незмінними. Тоді, позначивши невизначений параметр аі (ї) для підінтервалу, дістанемо

де Т = (і{ - 1^)1 N — інтервал квазістаціонарності параметрів. Гіпотеза квазістаціонарності передбачає, що час затухання пере-

хідних процесів по кожній із змінних стану ііп значно менший, ніж інтервал квазістаціонарності. Згідно з цією гіпотезою процеси в об'- єкті керування поділяються на «швидкі» (змінювання змінних стану) і «повільні» (змінювання параметрів).

Для синтезу квазістаціонарних систем можна користуватися будь-якою з відомих процедур, у тому числі процедурою синтезу оптимальних регуляторів. Але, виходячи з того, що параметри об'єкта насправді змінюються і вважаються сталими тільки протягом інтервалу квазістаціонарності, задачу синтезу необхідно розв'язувати автоматично безпосередньо в процесі роботи об'єкта, не відстаючи від темпу змінювання параметрів об'єкта. Отже, алгоритм регулятора повинен змінюватися під час роботи системи, пристосовуючись (адаптуючись, самонастроюючись) протягом часу Т до параметрів об'єкта, що змінюються, так, щоб якість роботи системи залишалася незмінною.

За такого підходу до побудови адаптивної системи передусім необхідно розв'язати задачу ідентифікації (визначення) параметрів об'єкта керування.

Системи з ідентифікаційним алгоритмом називаються парамет-

рично адаптивними.

Недоліком алгоритму ідентифікації є те, що він недостатньо по- в'язаний з метою керування, хоча й призначений для її досягнення.

607

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Безпосередньо з мети керування випливає, що раціональнішим є пошук законів змінювання параметрів регулятора. При цьому параметри регулятора повинні змінюватися залежно від значення критерію якості роботи системи. Такі алгоритми називаються прямими алгоритмами адаптивного керування. Системи, в яких використовуються

ці а л г о р и т м и , н а з и в а ю т ь с я функціонально адаптивними системами керування.

Пристрій, що реалізує алгоритм адаптації, називається адаптером. Особливість структури адаптивних систем полягає в тому, що, порівняно зі звичайними неадаптивними системами, вони мають додатковий контур — контур адаптації (самонастроювання), призначений для переробки інформації про умови роботи, що змінюються,

і наступної дії на регулятор основного контуру керування.

новного контуру. Отже, адаптивна САК, крім основного контуру, має контур адаптації. Для цього контуру об'єктом керування є вся основна САК.

Адаптивні системи звичайно поділяють на два класи: параметричні і непараметричні.

У параметричних системах структура керуючого пристрою залишається незмінною, а адаптація здійснюється за рахунок змінювання (підстроювання) значень параметрів для наближення їх до оптимальної настройки. Такі системи називаються також самонастроюва-

льними.

У непараметричних системах адаптація здійснюється за рахунок змінювання структури (алгоритму функціонування) керуючого пристрою. Такі системи називаються також самоорганізуючими.

608

12.2.Системи екстремального керування

12.2

Системи екстремального керування

Історично першими адаптивними системами були системи екстремального керування.

Системою екстремального керування називається система, в якій автоматично відшукується та підтримується режим роботи, що характеризується максимально (мінімально) можливим значенням показника якості. Цей показник називається також показником екстремуму або цільовою функцією. В загальному випадку в процесі екстремального керування визначається екстремум статичної характеристики нелінійного нестаціонарного інерційного об'єкта, на який діють збурення, що змінюють положення екстремуму в просторі керуючих дій.

Якщо статична характеристика об'єкта має екстремум

стремального керування має виводити й утримувати робочу точку в глобальному екстремумі.

Об'єкти екстремального керування можна класифікувати за такими ознаками:

•кількість керуючих (оптимізуючих) параметрів;

•кількість екстремумів характеристики об'єкта;

•обсяг апріорної інформації про об'єкт;

•інерційність об'єкта.

Якщо в об'єкті всього один керуючий параметр (т= І), то об'єкт називається однопараметричним, якщо т > І, — то багатопара-

метричним.

У найпростішому випадку об'єкт екстремального керування є однопараметричним, одноекстремальним, а його статична характеристика (12.3) — безперервною і безперервно диференційованою функцією.

Інерційність об'єкта часто не враховують, оскільки головним у системах екстремального керування є відслідковування дрейфу екстремуму статичної характеристики об'єкта. Тому екстремальні систе-

ми часто називають статичними самонастроювальними.

Розглянемо однопараметричний об'єкт, характеристика якого І = /(и)має екстремум, причому координати екстремуму змінюються