Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Необхідно знайти функцію х(0, що мінімізує функціонал (11.27) за умови (1 і .28).
Подібні задачі характерні для систем автоматичного керування, тому що звичайно задаються функціонал і рівняння динаміки керованого об'єкта, які і є рівняннями зв'язку. Такі задачі розв'язують зведенням їх до задач на безумовний екстремум.
Існує таке правило: для того щоб знайти екстремум функціонала (11.27) за умови (11.28), необхідно ввести допоміжну функцію
т
ф = Ф о + 2 уМ=' і) М х , х , ґ ) , |
( 1 1 - 2 9 ) |
де Х^ї) — поки що невідомі функції (невизначені множники Лагранжа), і шукати звичайними методами екстремум функціонала
/, |
= ( Ф Л |
(11.30) |
|
'о |
|
|
Для функції Ф складаються п рівнянь Ейлера, аналогічних рів- |
нянням (11.19), |
|
|
|
9Ф |
СІ_ |
ЗФ |
= 0, |
дх. |
СІЇ кдх, |
) |
|
|
|
(11.31) |
дФ |
а |
5Ф |
= 0. |
дх., |
сії |
|
|
Ця система доповнюється заданими рівняннями зв'язку (11.28). Отже, маємо п рівнянь Ейлера і т рівнянь зв'язку. Цих рівнянь достатньо для визначення п + т невідомих функцій х{, х 2 , х п і Х{, Х2,..., Хт, якщо відомі граничні умови.
Якщо функціонал (11.27) має також вищі похідні, то система рівнянь Ейлера (11.31) замінюється системою рівнянь Ейлера—Пуассо- на вигляду (11.24).
Під час проектування оптимальних систем керування електроприводами часто трапляються випадки, коли необхідно визначити екстремум функціонала
т |
|
/, = | ф | ( х , х , и)А |
(11.32) |
о |
|
1 1 . 2 . Методи класичного варіаційного числення
іл умови, що інші функціонали, які є рівняннями зв'язків, повинні маги задані значенняІ
/,. = | ф Д х , х , и)сІЇ=Ц, / = 2, 3, ... Д. |
(11.33) |
о |
|
Подібні задачі називаються ізопериметричними. Вони зводяться до задач на умовний екстремум. У цьому разі відшукується екстре- мум функціонала
/ = } (0Ф і + / = 1 |
о |
( 1 1 - 3 4 ) |
де Хі — довільні сталі множники Лагранжа, що визначаються з умов /, = Ц. Екстремаль функціонала / є розв'язком рівняння Ейлера.
•П р и к л а д 11.1. Розв'язати задачу оптимального керування електродвигуном постійного струму з незалежним збудженням, який відпрацьовує кутове переміщення 0 за мінімальний час Г п р и обмеженні нагрівання двигуна, що визначається струмом якоря.
Р о з в ' я з а н н я . Кількість теплоти, що виділяється в якорі двигуна,
|
Т |
|
е = І Кі1 сії, |
(11.35) |
|
о |
|
де К — опір якірного кола; / — струм якоря. |
|
Кутове переміщення |
|
|
|
т |
|
О 0 |
= | с о сІЇ, |
(11.36) |
|
о |
|
де со — кутова швидкість двигуна.
Розглядувану задачу можна сформулювати як ізопериметричну:
знайти екстремаль функціонала |
|
|
т |
(11.37) |
/, |
= $ сІЇ = тил |
|
о |
|
за наявності рівнянь зв'язку |
|
/2 = } / ^ / / < а „ „ ; |
(11.38) |
|
о |
|
|
Т |
|
/3 |
= | о) г// = 00. |
(11.39) |
|
о |
|
Г л а в а 11 |
ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
Для розв'язування цієї задачі необхідно знайти екстремаль функціонала (11.34):
т |
т |
|
/ = | ФЛ = |(ф, + Л2ф2 + Лз Фз )Л . |
(11.40) |
оо
Оскільки ф, = 1, що випливає із порівняння функціоналів (11.32) і (11.37), ф2 = Кі і ф3 = со, то
тт
І = | ф Л = |
+ Л3со)Л. |
(11.41) |
0 о
Прийнявши, що момент статичного навантаження МС дорівнює нулю і магнітний потік збудження незмінний, визначимо струм якоря і через швидкість о) за рівнянням руху електропривода
/ — = М |
(11.42) |
СІІ |
|
і залежністю між моментом і струмом якоря двигуна |
|
М = с і . |
(11.43) |
У цих рівняннях /— приведений до вала двигуна момент інерції електропривода; с — сталий коефіцієнт.
З рівнянь (11.42) і (11.43) дістанемо |
|
|
^ |
ІЇШ |
/11 Л Л ч |
/ = — - |
|
(11.44) |
са І
ізапишемо функціонал (11.41) у вигляді
т |
|
1 = | ( 1 + Л3ш + Х1к<й2)с11і |
(11.45) |
о
де
Рівняння Ейлера (11.13) для функціонала (11.45)
або
1 - 2 Х 0 Ахо = 0,
де Л0 = А^Дз • Звідси
1 1 . 2 . Методи класичного
варіаційного числення |
|
|
Розв'язавши (11.46), дістанемо рівняння екстремалі |
|
со = - ^ - / 2 |
+ С1/ + С2, |
(11.47) |
4 Х0к |
|
|
де С,, С2 — сталі інтегрування. |
|
|
Використавши рівняння (11.44), визначимо струм якоря |
|
/ = - — Ц - / + - С , . |
(11.48) |
с 2Х()к |
с |
|
Отже, оптимальне за швидкодією керування двигуном, що відпра-
цьовує задане переміщення, має здійснюватися за параболічним законом змінювання швидкості та лінійним законом змінювання струму.
Сталі інтегрування С, і С2, а також сталі м н о ж н и к и л2 |
і Х3 |
або їх |
співвідношення Х0 = \ІХ3 визначаються з граничних умов |
со(0) = 0, |
ш(Г) = 0 і рівнянь зв'язку (1 1.38), |
(11.39). |
|
|
З умови ю(0) = 0 і рівняння |
(11.47) дістаємо С2 = 0, |
а з |
умови |
со(Т) = 0 і того самого рівняння визначаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
С, |
=• |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Х0 к |
|
|
|
|
Підставивши значення С, і С2 в рівняння (11.47) і (11.48), знайдемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
/; |
(11.49) |
|
|
|
|
|
|
|
4 Х0к |
|
|
4Х0к |
|
|
|
|
|
/ |
= - |
/ |
- |
1 |
і |
|
- |
- ^ |
1Т |
(11.50) |
|
|
|
- |
к |
— . |
|
|
|
|
|
с 2Х0 |
|
|
4А0 ск |
|
|
|
Підставимо в рівняння зв'язку (11.38) /(/) з формули (11.50), тоді |
} Г/2 |
і |
|
2 ^ 2 т |
|
/2 |
|
т2 |
V |
I [ |
с2 |
4Х\к2 |
|
|
|
|
|
с2 |
и\к2 |
с2 |
|
іб^и2і |
|
|
|
гГл |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
2т-з |
|
|
|
|
|
+. • |
|
|
|
КГТ |
|
|
|
, |
, |
Л |
/ |
2 |
- 7 > |
4 |
СІІ |
= 48(ГХ20 к |
4Л?0 *ЧІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Звідси
З рівняння зв'язку (11.39) після підстановки в нього со(/)за формулою (11.49) дістанемо
гу з
Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
З В І Д К И
|
|
24£0П |
(11.52) |
|
|
|
|
|
242кХ ' |
(11.53) |
|
|
|
|
Порівнявши вирази (11.51) і (11.53), визначимо мінімальний час |
|
переміщення 7", тобто значення функціонала (11.37) |
|
|
т = |
і ( 1 2 0 ^ |
(П-54) |
|
|
С^лоп |
|
|
|
|
Підставивши значення 7" в (11.52), дістанемо |
|
|
= |
/?/2о() |
(11.55) |
|
0 |
20ДОПЛ' |
|
|
Значення Х0 і Тпідставимо у вирази (11.49) і (11.50) і остаточно визначимо рівняння швидкості і струму якоря електродвигуна при оптимальному керуванні.
Керування двигуном здійснюється змінюванням напруги якірного кола. Закон оптимального програмного керування ий(1) можна знайти з
виразу |
|
|
|
|
|
|
щ - і Я + с со. |
|
|
|
(11.56) |
со,/,ц, |
якщо |
знехтувати індуктивністю |
|
якірного кола. У цьому разі для ви- |
|
значення ия(і) достатньо в рівнян- |
|
ня |
(11.56) |
підставити |
знайдені |
|
функції |
/(/) |
і ш(/). Оскільки /(/) є |
|
лінійною функцією часу, а со(/) — |
|
параболічною, то ия (і) також змі- |
|
нюватиметься за параболічним за- |
|
коном. Графіки змінювання швид- |
|
кості, струму і напруги на якорі |
|
двигуна подано на рис. 11.1. |
|
|
Для визначення закону опти- |
|
мального |
керування як |
функції |
|
змінних стану 0 і со, що реалізуєть- |
|
ся за допомогою зворотних зв'яз- |
|
ків, |
необхідно з рівнянь /(/) І со(0 |
Рис. 11.1 |
вилучити час і знайдене значення |
/(/) |
підставити в рівняння |
(11.56). |
1 1 . 3 . Принцип максимуму
Остаточно залежність ия(со, 0) має такий вигляд:
11.3
Принцип максимуму
Подальшим розвитком класичного варіаційного числення і його узагальненням на випадки, коли оптимальні керування обмежені і становлять кусково-безперервні
функції з точками розриву першого роду, кількість яких невідома, є метод, який називається принципом максимуму. Розроблено цей меюд у 1956 р. Л. С. Понтрягіним та його школою.
Принцип максимуму є необхідною і достатньою ознакою оптимальності процесу лише для лінійних об'єктів. У загальному випадку для нелінійних об'єктів він є тільки необхідним. Це означає, що принцип максимуму дає можливість визначити не оптимальне керування, а деяку звужену групу допустимих керувань. Оптимальне керування, якщо воно взагалі існує, належатиме саме до цієї групи.
Розглянемо суть застосування принципу максимуму. Нехай динаміка об'єкта керування описується рівняннями
сіх, /сії = ер, (х,, х 2 , . . . , хп, щ, и2,..., |
ит) |
(11.57) |
і = 1, 2,..., п |
|
|
|
або у векторній формі |
|
|
х = ф(х, и ) , |
|
(11.58) |
де х — я-вимірний вектор змінних стану (координат системи); и —
/// вимірний вектор керувань. Крім того, вважатимемо, що керування и належить до деякої замкнутої множини
и(/)є О,
юбто керування и{(ї),..., ит(і) для кожного г набувають значень із множини £2.
Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Керування, що становлять кусково-безперервні функції і набувають значень із множини О, називаються допустимішії.
Крім рівнянь динаміки об'єкта задається функціонал
/ = )ф 0 (х,и)А . |
(11.59) |
'о |
|
Задача полягає в тому, щоб серед допустимих керувань, що пере-
водять об'єкт, який описується рівнянням (11.58), з початкового стану х(/0 ) = х(()) в кінцевий х(/,) = х( 1 ) , знайти таке, для якого функціо-
нал (11.59) набуває екстремуму.
Для зручності розв'язування задачі вводиться додаткова штучна
змінна стану х0 , для якої |
|
|
|
|
сіх0/сіі = Ф0(х, и), |
|
(11.60) |
а також допоміжні функції \|/0, \ | / , , \ | / „ , що |
визначаються лінійни- |
ми однорідними рівняннями |
|
|
|
|
_ _ А |
ЗфІ(хІ9...9хп9иІ9...9иІ„) |
|
сіі " |
|
дх, |
' |
(П.61) |
і = 0, 1, ...9п. |
|
|
Приєднавши рівняння (11.60) до системи (11.57), дістанемо сис- |
тему з (п + 1) рівнянь |
|
|
|
|
СІХ; / СІІ = |
Ф/ (*,-,..., хп9 |
и{9...9 ит)9 |
{ ^ |
і |
= 0, 1,..., |
п9 |
|
|
права частина яких не залежить від х0 . |
|
|
Рівняння (11.62) у векторній формі має вигляд |
|
£/х/Л = ф(х, и). |
|
(11.63) |
Тут на відміну від рівняння (11.58) вектор х та його похідна ф(х, и)є (п + 1)-вимірними. Ця різниця позначається значком
Якщо тепер ввести допоміжну функцію Н (функцію Гамільтона) у вигляді
|
Н(\\і09...9цп9х()...9хп9 |
щ9 |
...9 |
ит) |
= |
|
|
А |
, |
|
|
|
ч |
(11.64) |
= |
7=0 |
2,\|/7Фу(\і/0,..., |
уп,х09... |
9хп, |
і/,,..., |
ит), |
|
11.3. |
Принцип максимуму |
|
|
і о рівняння |
(11.61) і (11.62) можна об'єднати в |
одну систему, що |
нідома в механіці як система Гамільтона: |
|
|
&сі/Л = дн/дуі9 |
/ = 0,1,...,/і; |
(11.65) |
|
с1ці/сії = -дн/дхі, |
/ = 0,1,...,/І. |
(11.66) |
Рівняння (11.65) — це рівняння об'єкта, а (11.66) — спряжені рівняння.
Після цих попередніх зауважень сформулюємо принцип максимуму:
для того щоб керування и(0 і траєкторія х(0> що йому відповідає, були оптимальними, необхідно існування такої ненульової безперервної (п + 1)-вимірної век-
тор-функції |
складові якої задовольняють рівняння (11.65), |
(11.66), щоб за |
будь-якого і |
у заданому інтервалі ґ0 |
< і < ґ, величина Н як функція керувань и(ґ) |
у заданій зоні їх допустимих значень досягала максимуму: |
|
|
Н = |
х0,...,х„), |
(11.67) |
причому \|/0 |
= СОП8І І М = СОП8І(\|/0 |
< 0 і М = 0). |
|
Оскільки функція Н становить скалярний добуток вектора швидкості зображуючої точки х = ср(х, и) і вектора \|/, то принципу максимуму можна дати таке геометричне пояснення. Нехай вихідному і кінцевому станам системи відповідають зображуючі точки х(/0) та х(/, )у просторі станів (рис. 11.2). Кожній точці простору станів відповідає певна оптимальна траєкторія та мінімальний час переходу в кінцеву точку х(^ ). Навколо цієї точки можна побудувати поверхню, що є геометричним місцем точок з однаковим мінімальним часом переходу іп у цю точку. Такі поверхні називаються ізохронами. Очевидно, що оптимальна за швид-
кодією траєкторія з початкової у |
|
|
кінцеву точку повинна бути на- |
|
|
стільки максимально близькою |
|
|
до нормалей до ізохрон, наскіль- |
|
|
ки це дозволяють обмеження, що |
|
|
накладаються на змінні стану і |
|
|
керування. Математично ця умо- |
|
|
ва саме і вимагає максимуму ска- |
|
|
лярного добутку вектора швид- |
|
|
кості х на вектор у, зворотний |
|
|
градієнтові часу переходу в |
кін- |
~ |
77Т |
цеву точку. |
|
|
: |
19 Теорія автоматичного керування |
5 7 7 |
|
|
Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
В найпростішому випадку оптимальності (оптимальності за швидкодією), коли час ґ, не фіксований, а підінтегральна функція в (11.59) ф0(х, и) тотожно дорівнює ОДИНИЦІ, функціонал
/ = | ^ = / і _ / о = т і п . |
(11.68) |
'о Функція Гамільтона /7 у цьому разі визначається за формулою
Н = \|/0 + Я ,
де
и
7 = 1 Штучні величини з нульовими індексами не потрібні, і система
рівнянь Гамільтона матиме вигляд |
|
|
|
|
сіхі/сІґ = дН/д\{/,., |
/ = 1,2,...,а/; |
(11.69) |
сІЦі/сіґ^-дН/дХ;, |
/ = 1,2, , лі. |
(11.70) |
|
|
|
|
|
Оскільки \]/() = соп81, то максимум Я реалізується одночасно з максимумом функції Я, а з вимоги \|/0 < 0 відповідно до принципу максимуму випливає, що максимум Я > 0, тобто М > 0.
Отже, принцип максимуму для систем, оптимальних за швидкодією, можна сформулювати так:
І |
необхідно існування такої |
ненульової безперервної л-вимірної вектор-функції |
| |
ці (І), складові якої задовольняють рівняння (11.69), (11.70), щоб для всіх їу зада- |
| |
ному інтервалі ґ0 < ґ < ^ величина Няк функція керувань и(Г) у заданій зоні їх до- |
1 |
пустимих значень досягала максимуму |
|
|
Н = |
..., \|/л, ху, |
хп), |
| |
причому величина М стала у часі і М > 0. |
|
І |
|
Розглянемо застосування принципу максимуму для окремого випадку оптимального за швидкодією керування лінійними об'єктами, що описуються рівнянням
1 1 . 3 . Принцип максимуму
де х(ґ) — /і-вимірний вектор змінних стану об'єкта; и(ї) — /^-вимір- ний вектор керувань; А, В — матриці сталих коефіцієнтів вимірності // х п і пх т.
У розгорнутому вигляді рівняння (11.7І) мають вигляд
сіх, /сії = ф; = |
+ $>/"/> |
(11.72) |
|
|
/ = 1, 2, ..., /7,
і ому функція Гамільтона
н = 2 |
> |
(11.73) |
І = 1 |
* = 1 |
/ = 1 |
або у векторній формі |
|
|
Я = (\|/, Ах) + (\|/, Ви). |
(11.74) |
За принципом максимуму оптимальне керування надає максимум функції Я п р и обмеженнях и. Але щоб функція Я набула максимуму при зміні и, достатньо, щоб другий доданок у виразі (11.73) або (11.74) був максимальним, тобто
(V, Аі)= |
£ |
V/ X V ' / |
і = 1 / = і |
|
/ = 1 |
/ = 1 |
|
|
(11.75) |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
щ |
тах . |
|
|
/ = 1 г = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
При т = 1 і обмеженні \и(і)\ < итах |
умова (11.75) має вигляд |
|
а, |
(ї)и(ї)= |
|
т а х |
а . ( ї ) и , |
|
де |
|
|
\и(()\<ихшх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 = |
|
5 > А |
|
Умовою екстремуму будь-якої гладкої функції, яку задано у відкритій зоні змінювання її аргументу, є рівність нулю її похідної. Якщо функцію задано в замкнутій зоні, то вона може набувати екстремуму всередині зони або на її межах. У розглядуваному випадку функція с { и е лінійною відносно и, тобто її похідна не залежить від и.
