Teoriya avtomatichnogo keruvannya

дістанемо

1100^ - 900 37,42 - 35,4

Цей вираз зведемо до вигляду, зручному для складання різницевого рівняння

Введемо співмножник 2~', що забезпечує виконання програми корекції на мікро - ЕОМ у реальному масштабі часу,

Цр(2) _ 29,42"' -24,І2~2

ізапишемо різницеве рівняння корекції

"р [я7^1 = 0,95ир[(п - 1)Т(]] + 29,4є |(п - 1)Г0] — 24,1 є [(/? — 2)7"0].

У цьому рівнянні ир[пТ0] — число, що подається на ЦАП, увімкнений на виході цифрового регулятора; Ї[ПТ{)\ — число на виході А Ц П , що перетворює різницю сигналів завдання і зворотного зв'язку за швидкістю в цифровий код.

560

Контрольні запитання та завдання

Контрольні запитання та завдання

5 6 1

1 1 . 1

Завдання оптимального керування

Слово «оптимальний» у широкому розумінні означає «найкращий» відповідно до деякого критерію ефективності. Система автоматичного керування називається опти-

мальною, якщо в ній забезпечується найкраще значення основного показника якості роботи. Цей показник називається критерієм оп-

тимальності.

Використання методів теорії оптимального керування є одним із майперспективніших способів підвищення якості САК, що проектуються. Теорія оптимального керування — це розділ теорії автоматичного керування, де досліджуються властивості траєкторій динамічних систем, що є оптимальними за певним критерієм (мінімум часу переходу з одного стану в інший, максимально можлива точність виконання завдання керування, мінімум витрат енергії тощо) при доіриманні численних обмежень.

Вимоги, що ставляться до системи, можна пов'язати з досягненням екстремуму (звичайно мінімуму) деякої величини /— показника якості роботи системи або критерію оптимальності. Наприклад, кригерієм оптимальності при досягненні максимальної точності системи може бути мінімум середньої квадратичної похибки регулювання, що виражається інтегралом

(П.1)

о

де х(ї) — відхилення регульованої величини від бажаного значення. Величина / є функціоналом, тобто числом, що залежить від вигляду функції х(/).

563

Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Здебільшого критерій оптимальності приймається у вигляді квадратичного функціонала від кількох функцій

У теорії оптимального керування розглядаються методи, які дають змогу визначити оптимальне керування и, за допомогою якого об'єкт керування переводиться з одного стану в інші так, що при цьому мінімізується функціонал /, дотримуються обмеження на координати і керування, а рівняння динаміки об'єкта і характеристики зовнішніх дій у процесі керування не змінюються.

Обмеження, що накладаються на регульовані координати (змінні стану) і керування, здебільшого подаються у вигляді нерівностей

Де х/тах ~~ максимально допустимі значення змінних стану; икпіах — максимально допустимі значення керувань, що відображають обмежені ресурси керування.

Розглянемо постановку задачі оптимального керування. Нехай динамічні властивості об'єкта керування описуються рівняннями

5 6 4

11.1. Завдання оптимального керування

'<>

.і обмеження в загальній формі подано у вигляді системи нерівностей

'іс ул. — задані функціонали змінних стану і керувань.

Початкові та кінцеві стани об'єкта характеризуються точками в просторі станів, тобто векторами х(70) = х° і х(/, ) = х1 , або деякими

тримання обмежень (11.9) переводить об'єкт з початкового стану у кінцевий так, що при цьому функціонал (11.8) набуває мінімуму.

Керування, що задовольняє ці ВИМОГИ, називається оптимальним.

Початкові та кінцеві точки фазової траєкторії об'єкта можуть бу-

ііі фіксованими у //-вимірному просторі координат або залишатися вільними у певному розумінні. Час процесу також може бути фіксованим (за винятком задач про максимальну швидкодію) або вільним.

Оптимальне керування може визначатися в параметричній формі

Розв'язок у вигляді (11.10) відповідає програмному керуванню іалежно від часу, а у вигляді (11.11) — керуванню залежно від змінних стану, що реалізується за допомогою зворотних зв'язків за цими імінними.

Найпростішу форму оптимізуючий функціонал набуває в задачах оптимізації систем за критерієм максимальної швидкодії. Цьому випадку відповідає ф0 = 1 і функціонал (11.3) /= Г, - ї0, а критерієм опій мальності стає умова 1{ - ї0 = тіп.

Визначення функції, для якої функціонал набуває мінімуму, це іадача варіаційного числення. Методи варіаційного числення можна умовно розділити на класичні і сучасні.

До класичних належать методи, що базуються на рівняннях Ейлера, Якобі, Вейєрштрасса.

5 6 5

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

До сучасних належить принцип максимуму Понтрягіна і метод динамічного програмування Р. Беллмана.

Класичні методи доцільно застосовувати в задачах, що не мають обмежень, тобто коли розглядаються малі відхилення змінних стану і керувань від усталених значень.

Сучасні методи розроблено саме для розв'язування задач оптимального керування. Вони надають можливість враховувати обмеження керувань і змінних стану, оперують із широким класом функцій керування, пристосовані для використання обчислювальної техніки.

11.2

Методи класичного варіаційного числення

ервинним поняттям варіаційного числення є по-

пняття функціонала. Змінна величина, значення

якої визначається вибором однієї або кількох функцій, називається функціоналом. У класичному варіаційному численні основним об'єктом дослідження є функціонал стандартного вигляду

причому припускається, що функція ф0(х, х, /)безперервна і має безперервні частинні похідні за всіма змінними до другого порядку включно.

Визначення екстремалі, тобто функції х(/), що мінімізує функціонал (11.12), зводиться до розв'язування рівняння

Рівняння (11.13) називається рівнянням Ейлера і становить першу необхідну умову екстремуму.

566

1 1 . 2 . Методи класичного варіаційного числення

Якщо х0 і є заданими числами, то задача, що розглядається,

н а з и в а є т ь ся варіаційною задачею із закріпленими граничними точками.

Безперервно диференційовані функції х(1), які визначені на ініервалі [/0, і{ ]і задовольняють умови (1 1.14), називаються допустими-

ми функціями.

рівняння Ейлера (11.13) можна записати у розгорнутому вигляді:

Розв'язки цього рівняння х(ґ, С,, С2 ) називаються екстремалями. Вони містять дві сталі С, і С2 ,які визначаються граничними умовами (11.14).

З рівняння Ейлера випливає необхідна умова екстремуму, але вона не дає можливості визначити максимуму чи мінімуму набуває функціонал. Відповідь на це запитання дає теорема Лежандра (друга необхідна умова екстремуму)', функціонал (11.12) набуває мінімуму, якщо виконується умова

Цю задачу можна узагальнити також на випадок, коли підінтегральна функція функціонала (11.12) залежить від кількох функцій

567

Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

У цьому разі, змінюючи одну з функцій хД/)і залишаючи інші незмінними, дістаємо функціонал вигляду (11.12), що залежить тільки від однієї функції Хі(ґ). Ця функція, що дає екстремум функціоналу, має задовольняти рівняння Ейлера (11.13). Такі рівняння можна скласти для кожної функції хі (і) і дістати систему диференціальних рівнянь Ейлера, що визначають сім'ю екстремалів даної варіаційної задачі:

Підінтегральна функція функціонала може мати не тільки першу, а й другу похідну. В цьому разі функціонал

(11.20)

причому передбачається, що функція ф0 є диференційованою необхідну кількість разів.

Граничні умови записуються у вигляді

вертого порядку. Його розв'язок х(Г, С,, С2 , С3 С4 ) має чотири сталих, які визначаються граничними умовами (11.21).

Варіаційна задача узагальнюється також на випадок, коли підінте гральна функція містить похідні вищих порядків, тобто функціонал

5 6 8

11.2. Методи класичного варіаційного числення

Якщо функціонал (11.23) містить кілька функцій *,(/), то діста- ємо систему рівнянь вигляду (11.24).

Можуть бути й складніші задачі, в яких граничні точки (10, х0)9 (/,, х,) не фіксовані, а можуть рухатися по траєкторіях

= Р і ( 0 ;

=Ро(0-

Дві довільні сталі С{ і С2 , що входять у загальний розв'язок рівняння Ейлера, визначаються не з граничних умов, а з так званих

умов трсінсверссільності:

функціонала при додаткових умовах, що накладаються на функції, V класі яких відшукується екстремум. Такі задачі називаються задачами про умовний екстремум (зв'язаний екстремум). Нехай задано функціонал

(х — я-вимірний вектор змінних стану об'єкта) і додаткові рівняння,

569