Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

відає складова перехідного процесу вигляду С,-2'\ Характер перехідного процесу кожної складової залежить від кореня 2,-. Відомо, що для стійкої системи модулі всіх коренів мають бути меншими за одиницю. При цьому додатному дійсному кореню відповідає експоненціально затухаюча послідовність 8-імпульсів, від'ємному дійсному — знакозмінна затухаюча послідовність, комплексним — коливальна затухаюча послідовність (рис. 10.16).

Коло одиничного радіуса на площині 2 є відображенням уявної осі на площині р. Якщо коріньр є дійсним від'ємним (р = - а ) , то корінь 2 = ерГі) = е~а7° буде дійсним додатним, тобто від'ємна дійсна піввісь площини р відображується у відрізок додатної півосі площини 2 всередині кола одиничного радіуса. Парі комплексно-спряже- них коренів у лівій напівплощині площини р відповідає пара ком- плексно-спряжених коренів усередині кола одиничного радіуса або два дійсних корені на від'ємній дійсній півосі площини 2. Справді,

Найбільш істотно на перехідний процес впливають корені, розміщені найближче до уявної осі площини р. Це саме можна сказати

540

10.9.Якість імпульсних систем

про корені, розміщені ближче, ніж інші, до кола одиничного радіуса площини 2. Такі корені називаються домінуючими.

Якщо система має пару домінуючих комплексно-спряжених коренів г12 = а ± у'Р, а решта коренів міститься поблизу від початку координат, то час досягнення першого максимуму і перерегулювання визначаються за такими формулами:

кість полюсів; Ь — додатне число (Ь < 1), при якому вираз у квадрат-

реня.

Якість імпульсних систем можна характеризувати також непрямими оцінками, подібними до критеріїв якості безперервних систем. 11,ими оцінками є ступені стійкості г| і коливальності р, а також інтегральні оцінки якості.

Ступінь стійкості ті визначається абсолютною величиною дійсної частини найближчого до уявної осі комплексної площини р кореня

І), = а і ± Р, характеристичного рівняння замкнутої системи

О\р) = а0еЩр +аїеІІ-1)Ті)Р + ... + а,_[ет»р + а, = 0,

тобто

Л = М т і п .

Якщо перейти до відносного часу, тобто ввести змінну д = Т()р (комплексну змінну перетворення Лапласа у відносному часі), то характеристичне рівняння матиме вигляд

І>*(#) = а0еІ(/ + а1еі'~1)я + ... + а1_{ес1 + а, = 0 і ступінь стійкості обчислюватиметься за формулою

ЇЇ = | З о < х | т і п •

Тривалість перехідного процесу, вимірювана кількістю періодів квантування, і абсолютна тривалість визначається через ступінь стійкості:

іп <3т0/ц=3/ц.

541

Глава 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Цікаво зазначити, що в імпульсних системах теоретично можлива реалізація нескінченно великого ступеня стійкості. Ступінь стійкості г| дорівнює нескінченності тільки у разі, коли всі корені характеристичного рівняння £>*(/?) = 0 мають нескінченно велику від'ємну дійсну частину, а це означає, що всі корені характеристичного рівняння 0 ( і ) = 0 повинні дорівнювати нулю. Якщо характеристичне рівняння має вигляд (10.70), то всі корені дорівнюють нулю тільки за умови, що

У системах із нескінченно великим ступенем стійкості перехідний процес при одиничній ступінчастій дії має скінченну тривалість (закінчується протягом скінченної кількості періодів квантування).

Імпульсна перехідна характеристика, що є оригіналом зображення IV.:{і), визначається за формулою

у[л] = - 8 [ л - ( / - / м ) ] + ^ 8 [ л - ( / - / « + 1)] + ...

а0 а0

де 8[л] — дельта-функція.

З цього виразу бачимо, що імпульсна перехідна характеристика складається зі скінченної кількості імпульсів, яка не перевищує степеня знаменника передаточної функції. Однак практична реалізація

542

10.10.Корекція імпульсних систем

умов скінченної тривалості перехідних процесів у багатьох випадках ускладнена.

Ступінь коливальності р є непрямою оцінкою коливальності сисіеми. Для стійких імпульсних систем він визначається як абсолютна величина максимального відношення уявної та дійсної частин коренів характеристичного рівняння О*(р)= 0 або /)*(//) = 0, тобто

Н- = аР

Непрямими оцінками, що враховують не тільки тривалість пронесу, а і його відхилення від усталеного значення протягом перехідного процесу, є інтегральні оцінки якості.

Найпростішою є лінійна інтегральна оцінка

де у[°°] — усталене значення вихідної величини.

Ця оцінка придатна тільки для неколивальних процесів. Ширше застосування знайшла квадратична інтегральна оцінка

Найкращою є та імпульсна система, для якої інтегральні оцінки мінімальні. Значення параметрів системи, що відповідають мініма-

льним оцінкам, називаються оптимальними за якістю перехідного процесу.

10.10

Корекція імпульсних систем

Загальна мета корекції імпульсних систем полягає у забезпеченні стійкості, заданої точності роботи в

усталеному режимі та задовільної якості перехідних процесів. Корекцію можна здійснювати за рахунок змінювання параметрів

системи без зміни її структури або за рахунок уведення додаткових

543

Г л а ва 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

коректувальних кіл. Своєю чергою, коректувальні кола можуть бути безперервними або дискретними.

Найпростішим способом корекції є змінювання коефіцієнта підсилення розімкнутої системи, який впливає практично на всі властивості системи.

Значення коефіцієнтів підсилення К, при яких система зберігає стійкість, можна визначити за будь-яким критерієм стійкості, якщо використати умови, за яких система перебуває на межі стійкості.

• П р и к л а д 10.9. Передаточна функція розімкнутої системи

0,5 Кі

22-1,22+0,25"

Визначити, при яких значеннях коефіцієнта * імпульсна система стійка у замкнутому стані.

Р о з в ' я з а н н я . Характеристичне рівняння замкнутої системи

И(2) = 2* - 1,22 + 0,25 + 0,5А2 = 22 + (0,5* - 1,2)2 + 0,25 = 0.

Виконаємо и>-перетворення

і визначимо характеристичне рівняння

(2,45 - 0,5*)и^ + 1,5и> + 0,5* + 0,05 = 0.

Згідно з критерієм Гурвіца система другого порядку стійка, якщо всі коефіцієнти характеристичного рівняння будуть додатними, тобто

2 , 4 5 - 0 , 5 * > 0;

1,5 > 0 ;

0,5* + 0,05 > 0.

Останні дві умови виконуються при будь-яких додатних значеннях *.

З першої умови отримаємо *< 4,9, тобто імпульсна система стійка лише при * < 4,9.

Коефіцієнт підсилення * розімкнутої системи, що забезпечує бажаний показник коливальності М, можна визначити так. Записується передаточна функція розімкнутої системи

Щг) = Ш0(2)

544

10.10.Корекція імпульсних систем

іна комплексній площині будується амплітудно-фазова характеристика Ж0*(у ш)за допомогою підстановки 2 = е'10 для діапазону частот 0 < ш < ті (рис. 10.17). Після цього з початку координат проводиться пряма ОА під кутом ф = агс$іп(1/М)до від'ємної дійсної півосі і будується коло радіусом СР з центром С на від'ємній дійсній півосі так, щоб воно було дотичним одночасно до амплітудно-фазової характеристики Ж0*(у ш)і прямої ОА.

Потрібне значення коефіцієнта підсилення

к = М2/(М2 - 1) = ОС ОВ

Корекція імпульсної системи за рахунок введення коректувальних пристроїв полягає в змінюванні частотних характеристик системи з метою максимального їх наближення до бажаних. Коректувальні пристрої можуть бути безперервними або дискретними.

Безперервний коректувальний пристрій можна вводити послідовно з ланками незмінюваної частини системи, паралельно деяким з

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

них, а також у вигляді зворотного зв'язку, що охоплює всю систему або частину її ланок.

Визначення параметрів послідовного коректувального пристрою становить у загальному випадку досить складну задачу, тому що передаточна функція коректувального пристрою під час розрахунку включається в передаточну функцію приведеної безперервної частини. У найпростіших випадках при досить високій частоті квантування і великій інерційності безперервної частини системи, коли виконується умова (10.63), імпульсну систему можна замінити безперервною, динаміка якої близька до імпульсної. У цьому разі згідно з виразом (10.64) при г= 0 і у -> 0.

або

Де ^бС/'ю), ЖДусо), Жбп(у ш) — частотні характеристики: бажана, коректувального пристрою, безперервної частини вихідної системи; /Сі — коефіцієнт передачі імпульсного елемента.

З урахуванням тривалості імпульсів (у Ф 0) вираз (10.88) матиме вигляд

( к ш )

або

Структурну схему еквівалентної безперервної системи з послідовним коректувальним пристроєм зображено на рис. 10.18.

Після заміни імпульсної системи безперервною синтез послідов-

Рис. 10.18

ного коректувального пристрою можна виконати методами, розробленими для безперервних систем, зокрема методом логарифмічних частотних характеристик.

Розглянемо тепер коректувальний пристрій, що вмикається паралельно безперервній частині системи (рис. 10.19, а). Якщо перенести вузол через ланку IV. (<у), то дістанемо структурну схему, наве-

546

10.10.Корекція імпульсних систем

ІЕ

а

ІЕ

безперервної частини; ИКкп(#) — передаточна функція приведеного паралельного коректувального кола. Тоді передаточна функція розімкнутої імпульсної системи матиме вигляд

З виразу (10.90) можна визначити частотну характеристику паралельного коректувального кола, якщо відома бажана частотна характеристика Жб*(у со):

Ж;.Душ) = Ж Л у ш ) - Ж ; ( у с о ) .

Після цього за виглядом знайденої частотної характеристики визначається передаточна функція IV*п (<?), схема коректувальної ланки та її параметри.

Коректувальні ланки імпульсної дії вводяться після імпульсного елемента. Найчастіше коректувальні ланки — це цифрові коректувальні пристрої (цифрові регулятори). Синтез цифрових регуляторів розглядатиметься в п. 10.12.

547

10.11

Цифрові системи автоматичного керування

Цифровою системою автоматичного керування називається система, у замкнутому контурі якої є хоча в один пристрій, що перетворює безперервні сигнали в цифрові

коди і виконує математичні операції над цими кодами. У контурі цифрової системи цифровий регулятор виконує властиві йому математичні операції і видає результат у дискретні моменти часу і = Т(), 2Т0, ЗТ0, ... В інтервалах між цими моментами на виході регулятора зберігається те значення, яке було на початку інтервалу. Тому на виході регулятора існує не безперервна функція х(ґ), а відповідна ступінчаста х(пГ0),тобто здійснюється квантування за часом (рис. 10.20). Крім того, відбувається квантування за рівнем, оскільки внаслідок цифрової подачі інформації вихідний сигнал може набувати тільки певних фіксованих рівнів, що відрізняються один від одного на величину д. Ця величина відповідає одиниці молодшого розряду цифрового регулятора, тобто безперервний сигнал х{і) подається у вигляді

х(1) = х*(пТ0) + о,

548

10.11. Цифрові системи автоматичного керування

Отже, в цифрових системах сигнал квантується за часом і рівнем. Квантування за часом робить цифрову систему дискретною, а кваніування за рівнем — нелінійною. Однак при малому д впливом квантування за рівнем на динаміку системи можна знехтувати, тобто покласти # = 0. У цьому разі для дослідження цифрових систем можна ізсгосувати математичний апарат дослідження лінійних імпульсних < истем з амплітудно-імпульсною модуляцією: дискретне 2-перегво- рення і різницеві рівняння.

Спрощену структурну схему цифрової системи подано на рис. 10.21. Безперервний сигнал похибки є(/) імпульсним елементом III перетворюється в решітчасту цифрову функцію г[п] і надходить па вхід ЦОМ, яку подано у вигляді передаточної функції 0{і). Вихідний сигнал ЦОМ імпульсним елементом ІЕ2 і формувачем імпульсів \У^(р) перетворюється в ступінчастий сигнал. Безперервну частину системи подано ланкою з передаточною функцією \УЬп (/;).

Рис. 10.21

На виході формувача імпульсів протягом усього періоду квантування Т{) зберігається попереднє значення сигналу, тому формувач є фіксатором нульового порядку. Його передаточна функція

1 - е~Т{)Р

Р

або, через те, що еТ()Р =

и'фО>) = — •

гр

Передаточна функція приведеної безперервної частини системи визначається за формулою

549