Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Рис. 10.12

Отже, стійкість імпульсної системи можна досліджувати, визначивши корені характеристичного рівняння замкнутої системи 0(2) = 0. Імпульсна система стійка, якщо модулі всіх коренів характеристичного рівняння замкнутої системи менші за одиницю. Якщо модуль хоча б одного кореня перевищує одиницю, то система нестійка; при \г\ = 1 система перебуває на межі стійкості.

Для дослідження стійкості імпульсних систем використовуються критерії, за допомогою яких можна оцінювати стійкість за коефіцієнтами характеристичного рівняння або за частотними характеристиками.

Алгебричні критерії стійкості. Ці критерії було розроблено стосовно безперервних систем. Вони дають змогу визначити, чи всі корені характеристичного рівняння лежать в лівій півплощині комплексної площини коренів. Застосувати ці критерії безпосередньо для дослідження імпульсних систем неможливо. Справді, характеристичне рівняння імпульсної системи можна подати у вигляді

530

10.8.Стійкість імпульсних систем

пішілощині. Для рівняння (10.71) умовою стійкості залишається розміщення всіх коренів д у лівій півплощині коренів р. Проте критерії стійкості застосовуються лише до характеристичних рівнянь у вигляді поліномів, а рівняння (10.71) є трансцендентним. Щоб застосува- і н відомі алгебричні критерії стійкості безперервних систем для дослідження імпульсних систем, необхідно виконати ^-перетворення, яке полягає в заміні комплексної змінної 2 в рівнянні (10.70) на комплексну змінну за допомогою формули ^ = (1 + н')/(1 - и>). Внаслідок цього перетворення утворюється поліноміальне рівняння

Зоною стійкості для його коренів буде ліва півплощина коренів (рис. 10.12, в). До цього рівняння можна застосувати всі алгебричні критерії стійкості — Вишнєградського, Гурвіца і Рауса, оскільки умова стійкості для рівняння (10.72) збігається з умовами стійкості безперервних систем.

Наприклад, для використання критерію Гурвіца необхідно визначити передаточну функцію замкнутої системи \У3(г) = {3(2)//)(2)і

Після приведення цього виразу до загального знаменника дістанемо нове характеристичне рівняння того самого порядку:

де а і — коефіцієнти, що є комбінаціями доданків і сум коефіцієнтів а. Згідно з критерієм Гурвіца для стійкості імпульсної системи не-

обхідно і достатньо, щоб при а'0 > 0 визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори були додатними:

А, > 0; А/_! > 0; ...; Д1 > 0.

•П р и к л а д 10.6. Визначити за критерієм Гурвіца стійкість системи, характеристичне рівняння якої

2523 - 522 - 102-1 = 0.

Р о з в ' я з а н н я . Виконаємо п>-перетворення:

531

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

V1 - и>у V1 - и> у 1 -

_ 20іу3 + 90УУ2 + 80УУ + 10 _ 0 (1-н^)3

Перетворене характеристичне рівняння мас вигляд

Частотні критерії стійкості. Оцінка стійкості імпульсних систем можлива також за частотними критеріями, подібними до критеріїв Михайлова і Найквіста для безперервних систем.

Аналог критерію Михайлова. П і д час д о с л і д ж е н н я с т і й к о с т і за

критерієм Михайлова використовується характеристичне рівняння

де

Х(й>) = а{] со8 / оо + ах С08(/ - 1)аЗ + ... + а1_] С08 оо + аЛ; ¥(й>) = а0 8Іп /оо + а, 8Іп(/ - 1)аЗ + ... + а,_{ 8Іп со.

Змінюючи частоту со від 0 до я, за формулою (10.74) на комплексній площині будуємо криву — аналог годографа вектора Михайлова. За виглядом цього годографа робимо висновок про стійкість системи.

Формулювання цього критерію таке:

532

10.8.Стійкість імпульсних систем

слідовно 2/ квадрантів, ніде не перетворюючись у нуль (тут /— порядок характеристичного рівняння).

Годограф вектора В(е]і[і) стійкої системи третього порядку зображено на рис. 10.13. На відміну від безперервних систем годограф не прямує до нескінченності, а закінчується на дійсній осі. Крім того, годограф проходить вдвоє більше квадрантів.

Якщо годограф проходить через початок координат, то система перебуває на межі стійкості.

Враховуючи, що при оо = 0 Б(е] (,)) = /)(1), а при оо = я /)(е7(,)) = /)(-1), можна сформулювати такі необхідні умови стійкості:

1) для системи непарного порядку 0(1) > 0 і £>(-!)< 0; 2) для системи парного порядку £ ) ( 1 ) > 0 і / ) ( - 1 ) > 0 .

При дослідженні стійкості, перш ніж будувати годограф вектора І)(е]і0), доцільно перевірити, чи виконуються ці досить прості умови. Якщо вони не виконуються, то система нестійка і годограф можна не будувати.

Аналог критерію Найквіста. Подібно до безперервних систем для

дослідження стійкості замкнутих імпульсних систем можна викорисювувати АФХ розімкнутих систем.

Аналог критерію Найквіста стосовно імпульсних систем формумюється так:

1) якщо система стійка в розімкнутому стані або нейтральна, тобто має нульові полюси р/, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФХ розімкнутої системи при змінюванні відносної частоти ш від 0 до я не охоплювала ючку з координатами (-1, у 0) і не проходила через неї;

2) якщо система нестійка в розімкнутому стані, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФХ розімкнутої системи при змінюванні частоти ш від 0 до я охоплювала точку з координатами (-1, /0) /с/2 разів, де к — кількість коренів характеристичного рівняння безперервної частини розімкнутої системи, що мають додатну дійсну частину, або, що те саме, кількість коренів т.і характеристичного рівняння розімкнутої імпульсної системи, модулі яких більші за одиницю.

533

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Отже, під час дослідження стійкості за критерієм Найквіста передусім треба перевірити стійкість розімкнутої системи і, якщо вона нестійка, визначити кількість коренів р з додатною дійсною частиною. Це зробити неважко, оскільки івисновок про стійкість розімкнутої імпульсної системи можна робити на підставі перевірки стійкості її безперервної частини.

АФХ розімкнутої стійкої імпульсної системи, що відповідають стійкій (крива 1) і нестійкій (крива 2) замкнутим імпульсним системам, зображено на рис 10.14, а. АФХ розімкнутих систем стійкої (крива /) і нестійкої (крива 2) в замкнутому стані при к = 2 наведено на рис. 10.14, б.

Як бачимо, формулювання критерію Найквіста для імпульсних систем залишається таким самим, як і для безперервних. В і д м і н - н і с т ь полягає в тому, що АФХ імпульсних систем при со = п закінчуються на дійсній осі, а не стягуються в початок координат.

Особливістю також є залежність АФХ імпульсної системи від періоду квантування Т0 імпульсного елемента. Це неважко виявити, проаналізувавши побудову АФХ імпульсної системи за АФХ безперервної системи (див. рис. 10.11, б).

Введення імпульсного елемента в деяких випадках може бути засобом стабілізації нестійких замкнутих безперервних систем. Період квантування у цьому разі рекомендується вибирати з умови

де сод — частота, за якої АФХ безперервної частини розімкнутої сис-

а

Рис. 10.14

534

10.8.Стійкість імпульсних систем

Відповідно до критерію Найквіста стійкість замкнутої системи можна визначати не тільки за АФХ розімкнутої системи, а й за логарифмічними характеристиками — амплітудною Ь(Х) і фазовою ф(Я). Для цього попередньо треба виконати и>-перетворення і перейти до

исевдочастоти Я, застосувавши підстановку и> = Т = уХ-.

Стосовно логарифмічних характеристик критерій Найквіста формулюється так:

1) якщо система стійка або нейтральна в розімкнутому стані,_то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб на частоті зрізу А3, що відповідає

/.(X) = 0, фаза за модулем була менша я;

2) якщо система нестійка в розімкнутому стані і характеристичне рівняння має к коренів і,-, модулі яких перевищують^здиницю, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб при /. (X) > 0 кількість перетинів фазовою характеристикою рівня -я знизу вгору була в /с/2 разів більшою за кількість перетинів у протилежному напрямі.

•П р и к л а д 10.7. Дослідити стійкість замкнутої імпульсної С А К за допомогою логарифмічних характеристик і визначити запаси стійкості за фазою й амплітудою, якщо передаточна функція системи в розімкнутому стані має вигляд

=102(2* + 1,22+0,11)

слідження стійкості замкнутої системи застосовується перше формулювання критерію Найквіста в логарифмічній формі.

Для побудови логарифмічних характеристик спочатку подамо чи-

10(1+ м>)(2,1-0,1и>)(0,9и> + 1,1) 2и>(1,135и; + 0,865) (1,5и> + 0,5)

Подамо передаточну функцію Ж(и>)у вигляді, зручному для побудови логарифмічних характеристик:

535

т ,Тч _ 26,7(уХ + 1)(1 - 0Д)457уХ)(0,82уX + 1)

уЛЦ312уЛ+1)(ЗуА+1) і побудуємо ЛАХ £(Х) і ЛФХ ср(Х).

Методика побудови Ц А ) т а к а сама, як і методика побудови асимптотичних Л А Х безперервних систем. Низькочастотна (початкова) частина Л А Х проходить через точку з координатами Ь ( к ) = 20 1§26,7 = 28,5 дБ,

Рис. 10.15

5 3 6

10.9.Якість імпульсних систем

має запас стійкості за фазою Дф = 64°. Запас стійкості за амплітудою АЬ = 11 дБ.

10.9

Якість імпульсних систем

Якість імпульсних систем оцінюється точністю роботи в усталеному режимі та характером перехід-

них процесів при типових вхідних і збурюючих діях.

Усталену похибку в загальному випадку можна визначити таким самим способом, як і в безперервних системах, тобто знайти зображення похибки і перейти до її усталеного значення. Зображення похибки визначається з виразу передаточної функції (10.57) замкнутої системи відносно похибки

Х(2)=1Ух(2)Р(2). (10.76)

Усталене значення похибки згідно з формулою (10.38) для кінцевого значення оригіналу (решітчастої функції)

За цією формулою можна знайти усталену похибку за будь-якої форми вхідного сигналу /[п]. Проте її можна застосовувати тільки у разі, коли існує межа в правій частині. Межа не існує, якщо, наприклад, усталена похибка є гармонічною функцією.

Імпульсна система, в якої усталена похибка за будь-якого зовнішнього сигналу дорівнює нулю, називається астатичною відносно цього сигналу. В противному разі система називається статичною.

537

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Системи, астатичні щодо ступінчастого сигналу, називаються систе-

мами з астатизмом першого порядку. С и с т е м и , а с т а т и ч н і щ о д о с и г н а -

лу, що змінюється зі сталою швидкістю, називаються системами з

астатизмом другого порядку і т. д.

Точність імпульсної системи в усталеному режимі можна оцінювати за коефіцієнтами похибок, які становлять коефіцієнти С0 , С{, С2, ... розкладання передаточної функції за похибкою \Ух(і) в ряд Маклорена за степенями р. Ці коефіцієнти визначаються за формулою

Де

Величини, обернені коефіцієнтам похибок, так само як і для безперервних систем, називаються добротностями. Наприклад,

добротність за швидкістю

• П р и к л а д 10.8. Передаточна функція розімкнутої імпульсної системи

Визначити перші два коефіцієнти похибок С0 і С, при Г0 = 0,1 с.

Р о з в ' я з а н н я . Запишемо передаточну функцію замкнутої системи відносно похибки

2 = 1 , що відповідає р = 0. Тоді

С0 = Ж,( 0 = 0.

538

10.10. Корекція імпульсних систем

Для визначення коефіцієнта С, здиференціюємо передаточну функцію Жх(ерТ°):

= 0,2 Т{)езт°р - 0,45 Т()е1т"р + 0,2475 Т/7 "" _

(1,25е2Го/> — 2 , 1 7 5 в + 0,9)2

= 0,2 Грг3 - 0,45 Г()г2 + 0,2475 Т^ (1,25г2 - 2,175г + 0,9/

Підставивши в цей вираз г = 1 і Т0 = 0,1 с, дістанемо

С, = 0,4 с.

Якість перехідних процесів імпульсних систем оцінюється такими самими показниками, як і безперервних. Найважливішими з них < тривалість перехідного процесу і максимальне відхилення регульонаної величини від усталеного значення. Ці показники можна визначній розв'язуванням різницевого рівняння, що описує динаміку сисісми.

Методи розв'язування різницевих рівнянь розглянуто в п. 10.4. Зокрема для розрахунку перехідної характеристики, тобто реакції системи на одиничну ступінчасту дію за нульових початкових умов, іручно застосовувати г -перетворення. В цьому разі зображення вхідної величини

Переходячи від зображення (10.82) до оригіналу, знаходимо шукану решітчасту функцію у[п]. Якість перехідного процесу визнача- т ь с я за графіком безперервної функції у[і], що відповідає решітчас- I і ї ї функції у[п].

Якість перехідного процесу можна оцінювати також за полюсами і нулями передаточної функції, не розв'язуючи різницеве рівняння. Якщо нулі відсутні, то полюси повністю визначають перехідний процес у системі. Кожному кореню характеристичного рівняння відпо-

539