Teoriya avtomatichnogo keruvannya

10.6

Передаточна функція замкнутої імпульсної системи

Розглянемо імпульсну систему, структурну схему якої наведено на рис. 10.7, сі. Вважатимемо, що передаточну функцію розімкнутої системи визначено і в загальному

випадку (є Ф 0) вона становить є). Тоді 2-зображення вихідної величини

У(2,г)=Х(2,0)Щ2,г). (10.53)

520

10.5.Передато чна функція

р03іМКНут0ї імпульсної системи

'Зображення похибки прийнято у вигляді Х(2, 0), тому що імпульсний елемент реагує на похибку тільки в дискретні моменти часу

коли вагова функція дорівнює нулю в момент і = 0. Для цього в системах з нескінченно короткими імпульсами у вигляді 8-функцій по- і рівно, щоб степінь полінома чисельника передаточної функції безперервної частини IV6п (р) був меншим степеня полінома знаменника

521

Глава 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

принаймні на два. Якщо степінь полінома знаменника дорівнює степеню полінома чисельника або більший від нього лише на одиницю,

функціях замкнутих систем необхідно використовувати функцію IV(2, - 0)або функцію 2_1)^(2, 1), що їй дорівнює.

В усіх інших випадках - 0 ) = 2~1И/(2, = +0).

Отже, для замкнутої системи з одиничним зворотним зв'язком (див. рис. 10.7, а) за будь-яких умов справедливими є формули

10.7

Частотні характеристики імпульсних систем

Частотні характеристики імпульсних систем можна дістати за дискретними передаточними функціями за допомогою підстановки 2 = е, яка аналогічна підстановці

р = у'шдля частотних характеристик безперервних систем, тому що 2 = еч = е''Т". Дуже часто при побудові частотних характеристик ко-

522

10.7. Частотні характеристики імпульсних систем

ристуються відносною частотою а) = а)Г0, тобто підстановкою

За аналогією з безперервними системами амплітудно-фазові частотні характеристики імпульсних розімкнутої і замкнутої систем визначаються за формулами

де У 4 * ( Ш ) , У4З(СО) — амплітудно-частотні характеристики розімкнутої і замкнутої систем; ср*(ш)> ф*(її>) — фазові.

Через те, що г = ш = соз ш + у 8Іп ш, частотні характеристики імпульсних систем на відміну від безперервних є періодичними функціями частоти. При со = 2ті/Т0 відносна частота со дорівнює 2П, тому частотні характеристики імпульсних систем повторюються з частотою ш0, тобто частотні функції та їхні характеристики повністю визначаються змінюванням відносної частоти оо в інтервалі -тс < оо < тс або 0 < оо < тс.

Частотні характеристики імпульсних систем, як і безперервних, визначають реакцію на гармонічні дії і застосовуються для дослідження стійкості та якості систем.

Розглянемо як приклад побудову амплітудної частотної характеристики розімкнутої імпульсної системи, що складається з імпульсного елемента і безперервної частини з передаточною функцією К/(Тр + 1)(рис. 10.9). Імпульсний елемент генерує короткі прямокутні імпульси тривалістю уГ0, де у « 1.

5 2 3

Глава 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Виділивши дійсну й уявну частини

^V1 - 2с/ соз со + сі2

Амплітудно-частотні характеристики, побудовані за формулою (10.62), зображено на рис. 10.10. Під час розрахунку характеристик прийнято такі значення параметрів: К = 400; Т - 1 с; у = 0,05, причому для характеристики на рис. 10.10, а прийнято Т0 = 0,05 с, а на

А(]соЬ

2 0 -

б

Рис. 10.10

524

10.7. Частотні характеристики імпульсних систем

рис. 10.10, б—Т0= 1,5с, тобто в першому випадку частота квантування перевищує смугу пропускання безперервної частини системи, а в пру тому — перебуває у цій смузі.

У граничному випадку, коли частота квантування нескінченно велика — со0 —> оо(Т0 —> 0), вхідний гармонічний сигнал сприймається системою як безперервний і частотні характеристики імпульсної системи збігаються з частотними характеристиками безперервної час- т и й системи. Те саме відбувається і тоді, коли частота квантування досить висока, але не нескінченно велика, тобто характеристики імпульсної системи є характеристиками безперервної частини системи, що періодично повторюються з частотою со = 2тс (рис. 10.10, а). <) і же, за досить великої частоти квантування імпульсна система екиівалентна безперервній. Кількісно умови еквівалентності визначаються такими нерівностями:

(10.63)

де шбп — смуга пропускання безперервної частини системи; ссу — найбільша частота вхідної дії.

Якщо умови (10.63) виконуються, то ефект квантування за часом можна не враховувати і розглядати імпульсну систему як безперерв- ну. Ці умови становлять відому теорему Котельникова—Шеннона про умови неспотвореної передачі безперервного сигналу скінчен-

ються, то частотна характеристика імпульсної системи істотно відрізняється від характеристики безперервної частини системи (рис. 10.10, б). У цьому разі властивості безперервної системи відрізнятимуться від властивостей імпульсної, що має таку саму безперервну частину. Під час дослідження таких систем не можна не враховувати ефект квантування, зокрема для математичного описання систем слід користуватися дискретними передаточними функціями.

Частотні характеристики імпульсної системи можна визначати не тільки за передаточною функцією, а й побудувати графічно за відомою АФХ безперервної частини. Методика побудови базується па зв'язку АФХ імпульсної і безперервної систем, що визначається

525

Глава 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

справедливим для систем з амплітудно-імпульсною модуляцією при у —> 0.

Для переходу від характеристики Жбп(усо)до IV6п (уш) достатньо визначити відносну частоту То, = со,Т0 і замість абсолютної частоти со, на криву IVбп (уш) нанести значення со, (рис. 10.11, а). Щоб мати можливість урахувати від'ємні значення г у виразі (10.64), криву И/бп(у со) слід доповнити частиною, що відповідає від'ємним частотам. Цю частину характеристики, симетричну відносно дійсної осі, зображено на рис. 10.11, а штриховою лінією.

Для побудови АФХ дискретної системи вибирають ряд значень со,- < тс і позначають на частотній характеристиці Ж (у То) точки, що відповідають частотам со,, ш, - 2л, То, - 4л,..., То, + 2л, со,- + 4л,... Сума векторів, проведених з початку координат до цих точок, визначає вектор характеристики IV {і со) без урахування коефіцієнта передачі імпульсного елемента к{. Для врахування кх достатньо змінити масштаб на осях координат для Ж*(у'То) у кх разів порівняно з масштабом для Ж(усо).

За досить великих частот То модуль частотної характеристики |Ж*(у со)| —> 0, тому в сумі рівності (10.64) можна обмежуватися незначною кількістю доданків, наприклад двома, тобто вважати, що

Згідно з виразом (10.65) характеристику IV* (у То) побудувати досить просто. З кожної точки То < л частотної характеристики IV6п (у'То)як із

Рис. 10.11

526

10.7. Частотні характеристики імпульсних систем

початку координат проводять вектори IVбп [у (со - 2я)]. Кінці цих векторів визначають частотну характеристику Ж*(у со), масштаб якої повинен враховувати коефіцієнт/^ . Порядок побудови характеристики ІК*(у со)наведено на рис. Ю,П, б.

Під час побудови частотних характеристик імпульсних систем відносну частоту достатньо змінювати в межах від 0 до я, а при побудові характеристик безперервних систем частоту змінюють від 0 до оо. І іе створює певні незручності при застосуванні методів, розроблених для безперервних систем (зокрема методів, що базуються на використанні АФХ), при дослідженні дискретних систем. Тому для побудови частотних характеристик часто використовують так зване білінійне ^-перетворення дискретних передаточних функцій. Під час ^-перетворення в дискретних передаточних функціях аргумент 2 замінюється аргументом за допомогою підстановки

Зв'язок аргументу з частотою со можна виразити так. З (10.66) випливає

але через те, що 2 = еу 0, отримаємо

И> = е——:*»П _ і .

+ 1

Поділивши чисельник і знаменник цього виразу на е 1 дістанемо

Згідно з формулою Ейлера для комплексних чисел маємо

527

називається відносною псевдочастотою. Зв'язок між частотою со і відносною псевдочастотою X визначається виразами

То

з яких випливає, що змінюванню частоти со від 0 до я відповідає змінювання псевдочастоти від 0 до оо.

Під час побудови частотних характеристик зручніше користува-

тися абсолютною псевдочастотою

рахунках псевдочастоту можна замінити дійсною коловою частотою со.

Під час побудови частотних характеристик відносно псевдочастоти за дискретною передаточною функцією спочатку від аргументу 2 переходять до аргументу и>, здійснивши ^-перетворення за формулою (10.66), а потім виконують підстановку IV = у'Л або и> = уТ0Л/2 і дістають комплексну частотну функцію

IV Ц X) = А(Х)еМХ) = Ц(Х) + уГ(А),

за якою будують АФХ або логарифмічні амплітудну і фазову характеристики.

Логарифмічні характеристики визначаються за формулами, подібними до формул для безперервних систем, тобто

ЦХ)=201 £Л(Х)

ср(А) = агсі£ П(ХУУ(Х)

Так само, як і для безперервних систем, Ь(X) вимірюється в децибелах, ер (А,) — у градусах або радіанах, — у декадах.

Логарифмічні частотні характеристики імпульсних систем будувати складніше порівняно з безперервними. Це зумовлено тим, що при послідовному з'єднанні безперервних ланок без імпульсних елементів дискретна передаточна функція не дорівнює добутку дискретних передаточних функцій окремих ланок і вираз Ж(уХ) звичайно є

528

10.8.Стійкість імпульсних систем

сумою дробів. Тому перед побудовою характеристик комплексну функцію спочатку треба привести до зручного для логарифмування вигляду, тобто подати її як дріб, що містить у чисельнику і знаменнику елементарні співмножники вигляду К, у А, 7/ А, + І і Г2(у X)2 + 2^7/А. + 1. Після цього будують асимптотичну ЛАХ дискретної системи так само, як і для безперервних систем. ЛФХ визначається як сума фазових характеристик, що відповідають елементарним співмножникам чисельника і знаменника передаточної функції.

Оскільки частотна характеристика розімкнутої системи має скінченне значення при ш = я, що відповідає X = при X —> сю ЛАХ прямує до сталої величини, а ЛФХ — до значення ер (А,) = 0 або ер (А.) = -180е .

Застосування псевдочастоти і логарифмічних характеристик дає змогу досліджувати стійкість і якість перехідних процесів імпульсних систем, а також виконувати синтез коректувальних пристроїв методами, розробленими для безперервних систем.

10.8

Стійкість імпульсних систем

Подібно до безперервних систем лінійна імпульсна система буде стійкою, якщо всі полюси передаточної функції замкнутої системи IV*(р) (корені характеристичного

рівняння) знаходитимуться в лівій півплощині комплексної площини р. Межею стійкості є уявна вісь (рис 10.12, а). Оскільки під час дослідження імпульсних систем звичайно застосовується 2-перетво- рення, необхідно визначити межу стійкості на площині 2. Виходячи з ТОГО, ЩО 2 = ерТ{) і рівняння р = усю відповідає уявній осі на площині р, тобто межі стійкості на цій площині, межу стійкості на ПЛОЩИНІ 2 можна визначити так. Підставивши р = усо, знаходимо вираз

2 = Є^Т{) =СО8О)Г0 + у 8ІП О) Т{),

який становить рівняння кола одиничного радіуса. Це коло і є межею стійкості (рис. 10.12, б). Зона стійкості лежатиме в середині цього кола. Справді, якщо р= -а ± у(3, то

крім того, \г\< 1, бо \г\= е~и7{).

529